TRIANGLE RECTANGLE - TRIGONOMETRIE
Correction des exercices *

Exercice 1

1) Le triangle ABC est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore :
\[ \begin{align*} &AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\\ &BC^{2}=4^{2}+4^{2}\\ &BC^{2}=16+16\\ &BC^{2}=32\\ &BC=\sqrt{32} \text{ cm valeur exacte}\\ &BC \approx 5.66 \text{ cm valeur approchée} \end{align*} \] BC mesure approximativement 5.66 cm.

2) Le triangle DEF est rectangle en D donc d'après le théorème de Pythagore :
\[ \begin{align*} &DE^{2}+DF^{2}=EF^{2}\\ &EF^{2}=7^{2}+2^{2}\\ &EF^{2}=49+4\\ &EF^{2}=53\\ &EF=\sqrt{53} \text{ cm valeur exacte}\\ &EF \approx 7.28 \text{ cm valeur approchée} \end{align*} \] EF mesure approximativement 7.28 cm.

3) Le triangle GHI est rectangle en G donc d'après le théorème de Pythagore :
\[ \begin{align*} &GH^{2}+GI^{2}=HI^{2}\\ &GI^{2}=HI^{2}-GH^{2}\\ &GI^{2}=5^{2}-4^{2}\\ &GI^{2}=25-16\\ &GI^{2}=9\\ &GI=\sqrt{9}\\ &GI=3\text{ cm} \end{align*} \] GI mesure 3 cm.

Exercice 2

\( \displaystyle \cos{\widehat{LJK}}=\frac{\text{côté adjacent à }\widehat{LJK}}{\text{hypoténuse}}=\frac{JK}{JL}=\frac{8}{10}=0.8\)
\( \displaystyle \cos{\widehat{KLJ}}=\frac{\text{côté adjacent à }\widehat{KLJ}}{\text{hypoténuse}}=\frac{KL}{JL}=\frac{6}{10}=0.6\)
\( \displaystyle \sin{\widehat{LJK}}=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{LJK}}{\text{hypoténuse}}=\frac{KL}{JL}=\frac{6}{10}=0.6\)
\( \displaystyle \sin{\widehat{KLJ}}=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{KLJ}}{\text{hypoténuse}}=\frac{JK}{JL}=\frac{8}{10}=0.8\)
\( \displaystyle \tan{\widehat{LJK}}=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{LJK}}{\text{côté adjacent à }\widehat{LJK}}=\frac{KL}{JK}=\frac{6}{8}=0.75\)
\( \displaystyle \tan{\widehat{KLJ}}=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{KLJ}}{\text{côté adjacent à }\widehat{KLJ}}=\frac{JK}{KL}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \approx 1.33\)

Exercice 3

1) La plus grande longueur du triangle ABC est BC.
\[\begin{align*} &BC^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=2^{2}\times (\sqrt{5})^{2}=4\times 5=20\\ &AB^{2}+AC^{2}=2^{2}+4^{2}=4+16=20 \end{align*} \] Comme \(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\), le triangle ABC est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

2) La plus grande longueur du triangle DEF est DF.
\[ \begin{align*} &DF^{2}=11^{2}=121\\ &DE^{2}+EF^{2}=8^{2}+8^{2}=64+64=128 \end{align*} \] Comme \(DE^{2}+EF^{2}\neq DF^{2}\), le triangle DEF n'est pas rectangle.

3) La plus grande longueur du triangle GHI est HI.
\[\begin{align*} &HI^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10\\ &GH^{2}+GI^{2}=1^{2}+3^{2}=1+9=10 \end{align*} \] Comme \(GH^{2}+GI^{2}=HI^{2}\), le triangle GHI est rectangle en G d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

Exercice 4

1) Pour obtenir la mesure de l'angle \(\widehat{ABC}\), on utilise la touche cos^-1 (ou acos) de la calculatrice :
\[ \cos^{-1}(0.63)\approx 51^{\circ} \] L'angle \(\widehat{ABC}\) mesure approximativement \(51^{\circ}\).

2) Pour obtenir la mesure de l'angle \(\widehat{DEF}\), on utilise la touche sin^-1 (ou asin) de la calculatrice :
\[\sin^{-1}(0.05)\approx 3^{\circ} \] L'angle \(\widehat{DEF}\) mesure approximativement 3\(^{\circ}\).

2) Pour obtenir la mesure de l'angle \(\widehat{IJK}\), on utilise la touche tan^-1 (ou atan) de la calculatrice :
\[\tan^{-1}(0.5)\approx 27^{\circ} \] L'angle \(\widehat{IJK}\) mesure approximativement 27\(^{\circ}\).

4) Pour obtenir la mesure de l'angle \(\widehat{LMN}\), on utilise la touche sin^-1 (ou asin) de la calculatrice :
\[\sin^{-1}(0.25)\approx 14^{\circ}\] L'angle \(\widehat{LMN}\) mesure approximativement 14\(^{\circ}\).

5) Pour obtenir la mesure de l'angle \(\widehat{OPQ}\), on utilise la touche cos^-1 (ou acos) de la calculatrice :
\[\cos^{-1}(0.88)\approx 28^{\circ} \] L'angle \(\widehat{OPQ}\) mesure approximativement \(28^{\circ}\).

6) Pour obtenir la mesure de l'angle \(\widehat{RST}\), on utilise la touche tan^-1 (ou atan) de la calculatrice :
\[\tan^{-1}(0.58)\approx 30^{\circ} \] L'angle \(\widehat{RST}\) mesure approximativement 30\(^{\circ}\).

Exercice 5

1) \( \displaystyle \frac{AD}{AB}=\tan \widehat{ABD}\)
2) \( \displaystyle \sin{\widehat{CEA}}=\frac{AC}{CE}\)
3) \( \displaystyle \cos{\widehat{CEA}}=\frac{AE}{CE}\)
4) \( \displaystyle \frac{AE}{EC}=\cos{\widehat{CEA}}=\sin{\widehat{ACE}}\)
5) \( \displaystyle \frac{AD}{BD}=\cos{\widehat{ADB}}=\sin{\widehat{ABD}}\)
6) \( \displaystyle \tan{\widehat{ABC}}=\frac{AC}{AB}\)
7) \( \displaystyle \frac{AD}{DE}=\cos{\widehat{ADE}}=\sin{\widehat{AED}}\)
8) \( \displaystyle \frac{AC}{AE}=\tan{\widehat{CEA}}\)

Exercice 6

1) Calcul de la mesure de l'angle\( \widehat{ABC}\) sachant que le triangle ABC est rectangle en A :
\[ \begin{align*} \tan{\widehat{ABC}}&=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{ABC}}{\text{côté adjacent à }\widehat{ABC}}\\ &=\frac{AC}{AB}\\ &=\frac{4}{5}\\ &=0.8 \end{align*} \] D'après la calculatrice :
\[\tan^{-1}(0.8)\approx 38.7^{\circ} \] L'angle\( \widehat{ABC}\) mesure approximativement 38.7°.

2) Calcul de la mesure de l'angle\( \widehat{BED}\) sachant que le triangle BED est rectangle en D :
\[ \begin{align*} \sin{\widehat{BED}}&=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{BED}}{\text{hypoténuse}}\\ &=\frac{BD}{BE}\\ &=\frac{7}{\sqrt{53}}\\ &=0.962 \end{align*} \] D'après la calculatrice :
\[\sin^{-1}(0.962)\approx 74.2^{\circ} \] L'angle \( \widehat{BED}\) mesure approximativement 74.2°.

3) Calcul de la mesure de l'angle \(\widehat{FGC}\) sachant que le triangle FGC est rectangle en F :
\[ \begin{align*} \cos{\widehat{FGC}}&=\frac{\text{côté adjacent à }\widehat{FGC}}{\text{hypoténuse}}\\ &=\frac{FG}{CG}\\ &=\frac{8}{8\sqrt{2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*} \] D'après la calculatrice :
\[\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^{\circ} \] L'angle \( \widehat{FGC}\) mesure exactement 45°.

Exercice 7

1) Le triangle ABC est rectangle en A. Nous avons d'une part :
\[\cos{\widehat{ABC}}=\cos(23)\approx 0.92 \] Et d'autre part :
\[ \begin{align*} \cos{\widehat{ABC}}&=\frac{\text{côté adjacent à }\widehat{ABC}}{\text{hypoténuse}}\\ &=\frac{AB}{BC}\\ &=\frac{6}{BC} \end{align*} \] On déduit de ces deux expressions l'égalité suivante :
\[\frac{6}{BC}=\cos(23) \] Et par conséquent la longueur BC :
\[BC=\frac{6}{\cos(23)}\approx 6.52 \] BC mesure approximativement 6.52 cm.

2) Le triangle BED est rectangle en B. Nous avons d'une part :
\[\tan{\widehat{BDE}}=\tan(55)\approx 1.428 \] Et d'autre part :
\[ \begin{align*} \tan{\widehat{BDE}}&=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{BDE}}{\text{côté adjacent à }\widehat{BDE}}\\ &=\frac{BE}{BD}\\ &=\frac{BE}{4} \end{align*} \] On déduit de ces deux expressions l'égalité suivante :
\[\frac{BE}{4}=\tan(55) \] Et par conséquent la longueur BE :
\[BE=4\tan(55)\approx 5.71 \] BE mesure approximativement 5.71 cm.

3) Le triangle BAF est rectangle en A. Nous avons d'une part :
\[\sin{\widehat{AFB}}=\sin(50)\approx 0.766 \] Et d'autre part :
\[ \begin{align*} \sin{\widehat{AFB}}&=\frac{\text{côté opposé à }\widehat{AFB}}{\text{hypoténuse}}\\ &=\frac{AB}{BF}\\ &=\frac{6}{BF} \end{align*} \] On déduit de ces deux expressions l'égalité suivante :
\[\frac{6}{BF}=\sin(50) \] Et par conséquent la longueur BF :
\[BF=\frac{6}{\sin(50)}\approx 7.83 \] BF mesure approximativement 7.83 cm.

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