THEOREME DE THALES
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Exercice 1
\[ \frac{ED}{EC}=\frac{EB}{EA}=\frac{BD}{AC} \] En remplaçant par les valeurs numériques :
\[ \frac{6}{6}=\frac{5}{EA}=\frac{BD}{AC} \] Nous souhaitons connaitre la longueur EA :
\[ \begin{align*} &\frac{6}{6}=\frac{5}{EA}\\ &EA=5 \text{ cm} \end{align*} \] EA mesure 5 centimètres.
2) Les droites (FG) et (CD) sont sécantes en E. De plus, les droites (BD) et (AC) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\[ \frac{ED}{EC}=\frac{EG}{EF}=\frac{DG}{FC} \] En remplaçant par les valeurs numériques :
\[ \frac{6}{6}=\frac{EG}{5}=\frac{DG}{FC} \] Nous souhaitons connaitre la longueur EG :
\[ \begin{align*} &\frac{6}{6}=\frac{EG}{5}\\ &EG=5 \text{ cm} \end{align*} \] EG mesure 5 centimètres.
3) Les points A, E, B d'une part et D, E, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, nous avons :
\[ \begin{align*} &\frac{EB}{EA}=\frac{5}{5}=1\\ &\frac{EC}{ED}=\frac{6}{6}=1 \end{align*} \] Comme nous avons :
\[ \frac{EB}{EA}=\frac{EC}{ED}=1 \] Alors les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Exercice 2
Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en E. De plus, les droites (AC) et (BD) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\[ \frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EC}=\frac{BD}{AC} \] En remplaçant par les valeurs numériques :
\[ \frac{4}{5}=\frac{6}{EC}=\frac{BD}{AC} \] Nous souhaitons connaitre la longueur EC :
\[ \begin{align*} &\frac{4}{5}=\frac{6}{EC}\\ &EC=\frac{5\times 6}{4}\\ &EG=7.5 \text{ cm} \end{align*} \] EC mesure 7.5 centimètres.
2) Les points A, E, F d'une part et les points et C, E, G d'autre part sont alignés dans le même ordre. Nous avons :
\[ \begin{align*} &\frac{EA}{EF}=\frac{EA}{EB+BF}=\frac{5}{4+1}=\frac{5}{5}=1\\ &\frac{EC}{EG}=\frac{EC}{ED+DG}=\frac{7.5}{6+2}=\frac{7.5}{8}=0.9375 \end{align*} \] Comme nous avons : \[ \frac{EA}{EF}\neq\frac{EC}{EG} \] Alors les droites (AC) et (FG) ne sont pas parallèles.
Exercice 3
\[ AE^{2}+EB^{2}=AB^{2} \] Calcul de la longueur EB : \[ \begin{align*} &EB^{2}=AB^{2}-AE^{2}\\ &EB^{2}=1000^{2}-800^{2}\\ &EB^{2}=360000\\ &EB=\sqrt{360000}\\ &EB=600\text{ m} \end{align*} \] EB mesure 600 m, donc le village se situe à 600 mètres d'altitude.
2) Les droites (EB) et (CD) sont perpendiculaires à une même droite (AC) donc elles sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous avons :
\[ \frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{CD} \] En remplaçant par les valeurs numériques :
\[ \frac{800}{2000}=\frac{1000}{AD}=\frac{600}{CD} \] Nous souhaitons connaitre la longueur CD :
\[ \begin{align*} &\frac{800}{2000}=\frac{600}{CD}\\ &CD=\frac{2000\times 600}{800}\\ &CD=1500 \text{ m} \end{align*} \] CD mesure 1500 mètres, ce qui signifie que l'altitude maximale à laquelle se situe le téléphérique est de 1500 mètres.
3) Il faut connaitre la distance AD. En utilisant le théorème de Thalès précédent, nous avions :
\[ \frac{800}{2000}=\frac{1000}{AD}=\frac{600}{CD} \] Nous pouvons calculer la longueur AD :
\[ \begin{align*} &\frac{800}{2000}=\frac{1000}{AD}\\ &AD=\frac{2000\times 1000}{800} \\ &AD=2500 \text{ m} \end{align*} \] AD mesure 2500 mètres, soit 2.5 km.
Pour connaitre le temps de parcours, nous avons la relation suivante :
\[ v=\frac{d}{t} \] Nous souhaitons connaitre le temps : \[ t=\frac{d}{v}=\frac{2.5}{10}=0.25\text{ heure} \] Conversion de 0.25 heure en minutes :
\(0.25 \text{ h}=0.25\times 60 \text{ min} = 15\text{ min}\)
Il faut 15 minutes à ce téléphérique pour rejoindre la vallée.
Exercice 4
\[ \frac{EF}{EC}=\frac{EG}{EB}=\frac{FG}{BC} \] En remplaçant par les valeurs numériques :
\[ \frac{EF}{EC}=\frac{1}{2}=\frac{1.5}{BC} \] Nous souhaitons connaitre la longueur BC :
\[ \begin{align*} &\frac{1}{2}=\frac{1.5}{BC}\\ &BC=\frac{2\times 1.5}{1}\\ &BC=3 \text{ m} \end{align*} \] BC mesure 3 mètres, ce qui signifie que la profondeur de ce puits est de 3 mètres.