SYSTEMES D'EQUATIONS Correction des exercices ***

Exercice 1 (Nouvelle-Calédonie novembre 2012)

1) Si on additionne les membres du premier groupe et du deuxième groupe, on obtient 10 adultes et 10 enfants. Les deux groupes réunis auraient donc payés :
52 800 + 63 200 = 116 000 F.
Par conséquent, avec 120 000 F, un groupe de 10 adultes et 10 enfants a assez d'argent pour effectuer une sortie en voilier.

2) Soit \(x\) le prix d’une sortie adulte et \(y\) le prix d'une sortie enfants. Traduisons l’énoncé sous forme d’équations :
"[...] Un premier groupe composé de 4 adultes et 6 enfants a payé au total 52 800 F."
\(4x+6y=52800\).
"[...] Un deuxième groupe composé de 6 adultes et 4 enfants a payé au total 63 200 F pour la même sortie." :
\(6x+4y=63200\).
On doit donc résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 4x+6y=52800\\ 6x+4y=63200 \end{cases} \] Résolvons ce système à l'aide de la méthode par combinaison, plus simple que la méthode par substitution dans ce cas.
\[ \begin{align*} &\begin{cases} 4x+6y=52800 \qquad (\times 3)\\ 6x+4y=63200 \qquad (\times 2) \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 12x+18y=158400 \qquad (L_{1}-L_{2})\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 10y=158400-126400\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 10y=32000\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{32000}{10}\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3200\\ 12x+8\times 3200=126400 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3200\\ 12x+25600=126400 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3200\\ 12x=126400-25600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3200\\ 12x=100800 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3200\\ x=\frac{100800}{12} \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=8400\\ y=3200 \end{cases} \end{align*} \] Une sortie adulte coûte 8 400 F tandis qu'une sortie enfant coûte 3 200 F. Par conséquent, le petit frère d'Emilie a tort.

3) Un adulte et un enfant paieront 11 600 F. En effet :
\(x+y=8400+3200=11600\)

Exercice 2 (France métropolitaine juin 2011)

Soit \(x\) le prix d'un triangle de verre et \(y\) le prix d'un triangle de métal.
Le premier bijou est composé de 4 triangles de verre et 4 triangles de métal pour un coût de 11€ :
\(4x+4y=11\)
Le deuxième bijou est composé de 6 triangles de verre et 2 triangles de métal pour un coût de 9€10 :
\(6x+2y=9,10\)
Pour connaître le prix d'un triangle de verre et d'un triangle de métal, on doit résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 4x+4y=11\\ 6x+2y=9,1 \end{cases} \] Résolvons ce système à l'aide de la méthode par combinaison :
\[ \begin{align*} &\begin{cases} 4x+4y=11\\ 6x+2y=9,1 \qquad (\times 2) \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4x+4y=11\\ 12x+4y=18,2 \qquad (L_{2}-L_{1}) \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4x+4y=11\\ 8x=18,2-11 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4x+4y=11\\ 8x=7,2 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4x+4y=11\\ x=\frac{7.2}{8} \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4x+4y=11\\ x=0,9 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4\times 0.9+4y=11\\ x=0,9 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 3.6+4y=11\\ x=0,9 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4y=11-3.6\\ x=0,9 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 4y=7.4\\ x=0,9 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{7.4}{4}\\ x=0,9 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=1,85\\ x=0,9 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=0,9\\ y=1,85 \end{cases} \end{align*} \] Un triangle de verre coûte 0€90 et un triangle de métal coûte 1€85.
Le bijou n°3 se compose de 5 triangles de verre et de 3 triangles de métal. Par conséquent, son coût est égal à :
5 × 0,90 + 3 × 1,85 = 10€05
Le bijou n°3 coûtera 10€05.

Exercice 3 (Nouvelle Calédonie décembre 2011)

1) Vérifions les affirmations si Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg :
"Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis."
Poids de Caramel et Icare réunis : 500 + 700 = 1200 kg
Poids de Bubulle : 1200 kg
La première affirmation est vérifiée.
"Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis."
Poids de Caramel et Pâquerette réunis : 500 + 600 = 1100 kg
Poids d'Icare : 700 kg
1100 ≠ 700 donc la deuxième affirmation n'est pas vérifiée.
Par conséquent, Caramel ne pèse pas 500 kg et Icare ne pèse pas 700 kg.

2) Soit \(x\) le poids d'Icare et \(y\) le poids de Caramel. Traduisons l'énoncé sous forme d'équations :
"Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis." :
\(1200=x+y\)
"Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis." :
\(x=y+600\)
Pour connaître les poids d'Icare et de Caramel, on doit résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x+y=1200\\ x=y+600 \end{cases} \] On le résout ici par substitution :
\[ \begin{align*} &\begin{cases} x+y=1200\\ x=y+600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y+600+y=1200\\ x=y+600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2y+600=1200\\ x=y+600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2y=1200-600\\ x=y+600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2y=600\\ x=y+600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{600}{2}\\ x=y+600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=300\\ x=300+600 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=300\\ x=900 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=900\\ y=300 \end{cases} \end{align*} \] Icare pèse 900 kg et Caramel pèse 300 kg.
Lorsqu'on somme le poids des 4 animaux, on obtient :
1200 + 600 + 900 + 300 = 3000 kg
Le camion peut transporter 3,2 tonnes soit 3200 kg. Comme le poids total est de 3000 kg, l'éleveur peut transporter tous les animaux ensemble.

Exercice 4 (Asie juin 2010)

Soit \(x\) le prix d'un DVD et \(y\) le prix d'une bande dessinée.
S'il reste à Pierre 14€50, cela signifie qu'il a dépensé 75 - 14,50 = 60€50 pour l'achat d'1 DVD et 4 bandes dessinées.
Traduisons l'énoncé sous forme d'équations :
"Ils possèdent chacun 75€. Pierre achète 1 DVD et 4 bandes dessinées ; il lui reste 14€50." :
\(x+4y=60,50\)
"Clothilde dépense 73€50 pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées." :
\(2x+3y=73,50\)
On doit donc résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x+4y=60,50\\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \] On le résout ici par combinaison :
\[ \begin{align*} &\begin{cases} x+4y=60,50 \qquad (\times 2)\\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2x+8y=121 \qquad (L_{1}-L_{2})\\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 8y-3y=121-73,50 \\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 5y=47,5 \\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{47,5}{5} \\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=9,5 \\ 2x+3\times 9,5=73,50 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=9,5 \\ 2x+28,5=73,50 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=9,5 \\ 2x=73,50-28,5 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=9,5 \\ 2x=45 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=9,5 \\ x=\frac{45}{2} \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=9,5 \\ x=22,5 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=22,5\\ y=9,5 \end{cases} \end{align*} \] Un DVD coûte 22€50 et une bande dessinée coûte 9€50.

Exercice 5 (France métropolitaine septembre 2010)

Soit \(x\) le prix du grand meuble et \(y\) le prix du petit meuble.
La première composition comporte deux grands meubles et deux petits meubles pour un prix de 234€ :
\(2x+2y=234\)
La deuxième composition comporte un grand meuble et trois petits meubles pour un prix de 162€ :
\(x+3y=162\)
Pour connaître \(x\) et \(y\), on doit résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 2x+2y=234\\ x+3y=162 \end{cases} \] On le résout ci-dessous par la méthode de combinaison, en simplifiant la première ligne par 2 :
\[ \begin{align*} &\begin{cases} 2x+2y=234 \qquad (L_{1}/2)\\ x+3y=162 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x+y=117\\ x+3y=162 \qquad (L_{2}-L_{1}) \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x+y=117\\ 3y-y=162-117 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x+y=117\\ 2y=45 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x+y=117\\ y=\frac{45}{2} \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x+y=117\\ y=22,5 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x+22,5=117\\ y=22,5 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=117-22,5\\ y=22,5 \end{cases} \\ \Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=94,5\\ y=22,5 \end{cases} \end{align*} \] Un grand meuble coûte 94€50 et un petit meuble coûte 22€50.
Par conséquent, le lot composé de trois grands meubles et de deux petits meubles coûtera :
3 × 94,5 + 2 × 22,5 = 328€50
Cette composition coûte 328€50.

Exercice 6 (Amérique du Sud Novembre 2010)

1)

2) Soit \( x \) le nombre de places adultes et \( y \) le nombre de places enfants. Traduisons l'énoncé sous forme d'équations.
"45€ par adulte et 30€ par enfant s'ils réservent en catégorie 1. [...] Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510€" :
\( 45x+30y=510 \)
"27€ par adulte et 20€ par enfant s'ils réservent en catégorie 2. [...] 316€ s'ils réservent en catégorie 2." :
\(27x+20y=316\)
On doit donc résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 45x+30y=510\\ 27x+20y=316 \end{cases} \] Or nous connaissons les solutions de ce système, puisque nous les avons obtenues à la question 1)b).
Par conséquent \( x=8 \) et \( y=5 \).
On en déduit que ce groupe d'amis est composé de 8 adultes et de 5 enfants.

Correction des exercices de brevet sur les systèmes d'équations à deux inconnues pour la troisième (3ème)
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