SYSTEMES D'EQUATIONS
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I) Définitions
A) Equations à deux inconnues du premier degré
Définition
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels. On appelle équation à deux
inconnues du premier degré les équations de la forme suivante :
\[ ax + by = c \]
\[ ax + by = c \]
Exemple 1 : \(5x - 3y = 7,5\) est une équation à deux inconnues \((x \text{ et } y)\) du premier degré.
On appelle solution d’une équation à deux inconnues tout couple \( (x\text{ ; }y)\) tel que l’égalité est vraie.
Exemple 2 : \(x + 2y = 5\)
Le couple (1 ; 2) est solution de cette équation car 1 + 2 × 2 = 1 + 4 = 5.
Le couple (2 ; 1,5) est également solution de cette équation car 2 + 2 × 1,5 = 2 + 3 = 5
Par contre, le couple (0 ; 3) n’est pas solution de cette équation. En effet : 0 + 2 × 3 = 6 ≠ 5.
B) Systèmes de deux équations à deux inconnues
Définition
Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, il faut
trouver les couples \( (x\text{ ; }y)\) tels que les
deux égalités soient vraies
simultanément.
Exemple 3 :
\[ \begin{cases} x+2y=5 \\ 3x-y=0 \end{cases} \] \( (1\text{ ; }2)\) est-il solution de ce système ?
1ère équation : 1 + 2 × 2 = 5 OK
2ème équation : 3 × 1 – 2 = 1 ≠ 0 Non vérifiée
Comme le couple \( (1\text{ ; }2)\) ne vérifie pas les deux égalités (il ne vérifie que la première), il n’est pas solution du système.
\(\displaystyle \left(\frac{5}{7};\frac{15}{7}\right)\) est-il solution de ce système ?
1ère équation OK :
\[ \begin{align*} \frac{5}{7}+2\times \frac{15}{7}&=\frac{5}{7}+\frac{30}{7}\\ &=\frac{35}{7}\\ &=5 \end{align*} \] 2ème équation OK :
\[ \begin{align*} 3 \times \frac{5}{7}-\frac{15}{7}&=\frac{15}{7}-\frac{15}{7}\\ &=0 \end{align*} \] Comme le couple \(\displaystyle \left(\frac{5}{7};\frac{15}{7}\right)\) vérifie les deux égalités, il est solution du système.
II) Résolution des systèmes
A) Méthode de substitution
Résolvons le système suivant :\[ \begin{cases} x+y=2 \\ 3x+4y=7 \end{cases} \] Les cinq étapes qui sont présentées ci-dessous peuvent se généraliser à n’importe quel autre système.
1) On prend une des deux équations et on exprime une inconnue en fonction de l’autre.
Ici, prenons la première équation et exprimons par exemple \( x \) en fonction de \( y \).
\[ \begin{align*} &x+y=2 \\ &x=2-y \end{align*} \]
2) Remplaçons maintenant \( x \) dans la deuxième équation par le résultat obtenu à l'étape précédente, c'est-à-dire par \( 2-y \). On conserve une des deux équations de départ.
\[ \begin{cases} x+y=2 \\ 3(2-y)+4y=7 \end{cases} \]
3) La deuxième équation n’a plus qu’une seule inconnue. Nous pouvons à présent déterminer la valeur de \(y\). \[ \begin{align*} &\begin{cases} x+y=2 \\ 6-3y+4y=7 \end{cases} \\ &\begin{cases} x+y=2 \\ 6+y=7 \end{cases} \\ &\begin{cases} x+y=2 \\ y=7-6 \end{cases} \\ &\begin{cases} x+y=2 \\ y=1 \end{cases} \end{align*} \]
4) Maintenant que nous connaissons la valeur de \(y\), remplaçons \(y\) dans la première équation par 1 pour déterminer la valeur de \(x\).
\[ \begin{align*} &\begin{cases} x+1=2 \\ y=1 \end{cases} \\ &\begin{cases} x=2-1 \\ y=1 \end{cases} \\ &\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases} \\ \end{align*} \]
5) On conclut : ce système admet un unique couple solution : (1 ; 1).
Facultatif (mais utile !) : on vérifie si les valeurs de \( x \) et \( y \) trouvées sont les bonnes.
Lorsque \( x = 1 \) et \( y = 1 \) :
\( x+y=1+1=2 \; \rightarrow \text{ OK} \)
\( 3x+4y=3\times 1 + 4\times 1=3+4=7 \; \rightarrow \text{ OK} \)
Notre couple solution est donc juste.
Pour noter le couple solution, on écrit la valeur de
en
premier
et celle de y en second.B) Méthode de combinaison (ou élimination)
Résolvons le même système que dans le A) en utilisant la méthode de combinaison, également appelée méthode d’élimination.\[
\\ \begin{cases} x+y=2 \\ 3x+4y=7 \end{cases} \\ \] Les cinq étapes qui sont présentées ci-dessous peuvent se généraliser à n'importe quel autre système.
1) Multiplions les deux membres de la première équation par 4 pour obtenir le même nombre de \(y\) que dans la seconde équation.
\[
\\ \begin{cases} 4x+4y=8 \\ 3x+4y=7 \end{cases} \\ \]
2) Soustrayons les deux équations membre à membre ce qui permet d'éliminer les termes en \( y\).
\[
\\ \begin{cases} 4x+4y-(3x+4y)=8-7 \\ 3x+4y=7 \end{cases} \\ \]
3) Simplifions la première équation et déterminons la valeur de \( x \) :
\[ \begin{align*} &\begin{cases} 4x+4y-3x-4y=8-7 \\ 3x+4y=7 \end{cases} \\ &\begin{cases} x=1 \\ 3x+4y=7 \end{cases} \\ \end{align*} \]
4) Maintenant que nous connaissons la valeur de \( x \), remplaçons \( x \) dans la deuxième équation par 1 pour déterminer la valeur de \( y \).
\[ \begin{align*} &\begin{cases} x=1 \\ 3\times 1+4y=7 \end{cases} \\ &\begin{cases} x=1 \\ 3+4y=7 \end{cases} \\ &\begin{cases} x=1 \\ 4y=7-3 \end{cases} \\ &\begin{cases} x=1 \\ 4y=4 \end{cases} \\ &\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases} \\ \end{align*} \]
5) On conclut : ce système admet un unique couple solution : (1 ; 1). On peut éventuellement faire une vérification (c'est la même que dans le A).
Conclusion
Quelle méthode choisir ?
On choisit la méthode qui fournit les calculs les plus simples et les plus rapides.
Généralement, c’est la méthode de combinaison qui est la plus performante. La méthode de substitution est pratique lorsqu’il n’y a pas de coefficient devant les inconnues (lorsqu’on n’a qu’un seul \( x \) ou un seul \( y \)).