SYSTEMES D'EQUATIONS
Correction des exercices *
|
Exercice 1
1) Lorsque \(x=2.5\) et \(y=0\) :
\[
2x+3y=2\times 2.5 + 3\times 0=5+0=5
\]
\((2.5;0)\) est une solution de la première équation.
\[
3x-8y=3\times 2.5 -8\times 0=-7.5\neq -4
\]
\((2.5;0)\) n'est pas solution de la deuxième équation.
Conclusion :
\((2.5;0)\) n’est pas
solution de ce système.
2) Lorsque \(x=4\) et \(y=-1\) :
\[
2x+3y=2\times 4 + 3\times (-1)=8-3=5
\]
\((4;-1)\) est une solution de la première équation.
\[
-3x-8y=-3\times 4 -8\times (-1)=-12+8=-4
\]
\((4;-1)\) est solution de la deuxième équation.
Conclusion :
\((4;-1)\) est solution de ce système.
Exercice 2
Résolution du premier système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 10x+y=6 \\ 4x+2y=6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ 4x+2y=6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ 4x+2(6-10x)=6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ 4x+12-20x=6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ -16x+12=6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ -16x=6-12 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ -16x=-6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ x=\frac{-6}{-16} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10x \\ x=\frac{3}{8} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=6-10\times\frac{3}{8} \\ x=\frac{3}{8} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{48}{8}-\times\frac{30}{8} \\ x=\frac{3}{8} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{18}{8} \\ x=\frac{3}{8} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{9}{4} \\ x=\frac{3}{8} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=\frac{3}{8} \\ y=\frac{9}{4} \end{cases}
\end{align*}
\]
Le premier système admet un unique couple solution : \(\displaystyle \left(\frac{3}{8};\frac{9}{4}\right)\).
Résolution du deuxième système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 2x+3y=17 \\ x-y=1 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2x+3y=17 \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2(1+y)+3y=17 \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2+2y+3y=17 \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 2+5y=17 \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 5y=17-2 \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} 5y=15 \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=\frac{15}{5} \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3 \\ x=1+y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3 \\ x=1+3 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} y=3 \\ x=4 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; &\begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}
\end{align*}
\]
Le deuxième système admet un unique couple solution : \((4;3)\).
Résolution du troisième système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} x-y=24 \\ x-3y=16 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+y \\ x-3y=16 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+y \\ 24+y-3y=16 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+y \\ 24-2y=16 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+y \\ -2y=16-24 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+y \\ -2y=-8 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+y \\ y=\frac{-8}{-2} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+y \\ y=4 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=24+4 \\ y=4 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=28 \\ y=4 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=28 \\ y=4 \end{cases}
\end{align*}
\]
Le troisième système admet un unique couple solution : \((28;4)\).
Résolution du quatrième système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} x+y=200 \\ 800x+500y=124000 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x+y=200 \\ 8x+5y=1240 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-y \\ 8x+5y=1240 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-y \\ 8(200-y)+5y=1240 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-y \\ 1600-8y+5y=1240 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-y \\ 1600-3y=1240 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-y \\ 3y=1600-1240 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-y \\ 3y=360 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-y \\ y=\frac{360}{3}=120 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=200-120 \\ y=120 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=80 \\ y=120 \end{cases}
\end{align*}
\]
Le quatrième système admet un unique couple solution : \((80;120)\).
Exercice 3
Résolution du premier système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 3x+2y=27 \qquad (\times 2) \\ 2x+3y=30 \qquad (\times 3) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x+4y=54 \\ 6x+9y=90 \qquad (L_{2}-L_{1}) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x+4y=54 \\ 9y-4y=90-54 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x+4y=54 \\ 5y=36 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x+4y=54 \\ y=\frac{36}{5} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x+4y=54 \\ y=7.2 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x+4\times 7.2=54 \\ y=7.2 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x+28.8=54 \\ y=7.2 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x=54-28.8 \\ y=7.2 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 6x=25.2 \\ y=7.2 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=\frac{25.2}{6} \\ y=7.2 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=4.2 \\ y=7.2 \end{cases}
\end{align*}
\]
Le premier système admet un unique couple solution : \((4.2;7.2)\).
Résolution du deuxième système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 12x+8y=71.3 \qquad (\times 2) \\ 8x+24y=91.4 \qquad (\times 3) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x+16y=142.6 \\ 24x+72y=274.2 \qquad (L_{2}-L_{1}) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x+16y=142.6 \\ 72y-16y=274.2-142.6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x+16y=142.6 \\ 56y=131.6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x+16y=142.6 \\ y=\frac{131.6}{56} \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x+16y=142.6 \\ y=2.35 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x+16\times 2.35=142.6 \\ y=2.35 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x+37.6=142.6 \\ y=2.35 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x=142.6-37.6 \\ y=2.35 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 24x=105 \\ y=2.35 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=\frac{105}{24} \\ y=2.35 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=4.375 \\ y=2.35 \end{cases}
\end{align*}
\]
Le deuxième système admet un unique couple solution : \((4.375;2.35)\).
Résolution du troisième système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 3x+4y=70.3 \\ x+y=20.7 \qquad (\times 3) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x+4y=70.3 \qquad (L_{1}-L_{2}) \\ 3x+3y=62.1 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 4y-3y=70.3-62.1 \\ 3x+3y=62.1 \qquad (/3) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=8.2 \\ x+y=20.7 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=8.2 \\ x=20.7-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=8.2 \\ x=20.7-8.2 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=8.2 \\ x=12.5 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=12.5 \\ y=8.2 \end{cases}
\end{align*}
\]
Le troisième système admet un unique couple solution : \((12.5;8.2)\).
Résolution du quatrième système :
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 3x+2y=47 \\ x+3y=32 \qquad (\times 3) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x+2y=47 \\ 3x+9y=96 \qquad (L_{2}-L_{1}) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x+2y=47 \\ 9y-2y=96-47 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x+2y=47 \\ 7y=49 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x+2y=47 \\ y=7 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x+2\times 7=47 \\ y=7 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x+14=47 \\ y=7 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x=47-14 \\ y=7 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3x=33 \\ y=7 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=11 \\ y=7 \end{cases}
\end{align*}
\]
Le quatrième système admet un unique couple solution : \((11;7)\).
Exercice 4
En haut, la méthode par substitution et en bas, la méthode des
combinaisons.
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 6x+9y=1776 \qquad (/3) \\ x+y=225 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 2x+3y=592 \\ x=225-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 2(225-y)+3y=592 \\ x=225-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 450-2y+3y=592 \\ x=225-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 450+y=592 \\ x=225-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=592-450 \\ x=225-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=142 \\ x=225-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=142 \\ x=225-142 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=142 \\ x=83 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=83 \\ y=142 \end{cases}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 6x+9y=1776 \qquad (/3) \\ x+y=225 \qquad (\times 3) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 2x+3y=592 \\ x+y=225 \qquad (\times 2) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 2x+3y=592 (L_{1}-L_{2}) \\ 2x+2y=450 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 3y-2y=592-450 \\ 2x+2y=450 \qquad (/2) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=142 \\ x+y=225 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=142 \\ x=225-y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=142 \\ x=225-142 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=142 \\ x=83 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=83 \\ y=142 \end{cases}
\end{align*}
\]
Ce système admet un unique couple solution : \((83;142)\).
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 5x-3y=35 \\ x+2y=-6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 5x-3y=35 \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 5(-6-2y)-3y=35 \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} -30-10y-3y=35 \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} -30-13y=35 \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} -13y=35+30 \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} -13y=65 \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-\frac{65}{13} \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-\frac{65}{13}=-5 \\ x=-6-2y \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-5 \\ x=-6-2\times (-5) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-5 \\ x=4 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=4 \\ y=-5 \end{cases}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&\begin{cases} 5x-3y=35 \\ x+2y=-6 \qquad (\times 2) \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} 5x-3y=35 \qquad (L_{1}-L_{2}) \\ 5x+10y=-30 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} -3y-10y=35-(-30) \\ 5x+10y=-30 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} -13y=65 \\ x+2y=-6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-5 \\ x+2\times (-5)=-6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-5 \\ x-10=-6 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-5 \\ x=-6+10 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} y=-5 \\ x=4 \end{cases}\\
\Longleftrightarrow \; & \begin{cases} x=4 \\ y=-5 \end{cases}
\end{align*}
\]
Ce système admet un unique couple solution : \((4;-5)\).
Correction des exercices d'entraînement sur les systèmes d'équations à deux inconnues pour la troisième (3ème)
© Planète Maths