LOGARITHME NEPERIEN Sujet des exercices ***

Exercice 1

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[ f(x)=\ln(x). \] On note \(\mathcal C\) la courbe représentative de la fonction \(f\).
1) Représenter graphiquement \(\mathcal C\).
2) Calculer l'équation de la tangente à la courbe \(\mathcal C\) au point \(A(1;0)\). On note \(y(x)\) l'équation de cette tangente et \(\mathcal T\) sa courbe représentative.
3) Représenter dans le même graphique \(\mathcal T\).
4) On définit la fonction \(z\) sur \(]0;+\infty[\) telle que \[ z(x)=y(x)-f(x). \] Que représente graphiquement \(z\) ?
5) Calculer \[ \lim_{x\rightarrow 1} z(x), \] puis \[ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} z(x). \] 6) Calculer \(\forall x> 1\) \[ \mathcal{A}(x)=\int_{1}^{x}z(t)dt. \] Que représente graphiquement \(\mathcal{A}\) ?

Exercice 2

Partie 1
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par \(f(x)=\ln(x)-(x-1)\).
1) Déterminer le tableau de variations de la fonction \(f\).
2) En déduire que \(\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{*} \), \(\ln(x)\leq x-1\).
3) Démontrer que pour \(\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{*}\), \(\displaystyle 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x)\).
4) En déduire que \(\forall p\in \mathbb{N}^{*}\) \[ \frac{1}{p+1}\leq \ln \left(\frac{p+1}{p}\right)\leq \frac{1}{p}. \]
Partie 2
On considère une suite \(u_{n}\) définie par \[ u_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}, \; \forall n\in \mathbb{N}^{*} \] 5) Calculer \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
6) Utiliser l'encadrement de la question 4 pour démontrer que \[ u_{n}\leq \ln(2) \leq u_{n}+\frac{1}{2n}. \] 7) Démontrer que la suite \(u_{n}\) converge vers \(\ln(2)\).

Sujet des exercices d'approfondissement sur le logarithme népérien pour la terminale
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