LOGARITHME NEPERIEN
Sujet des exercices **
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Exercice 1
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par :
\[
f(x)=\ln(x)-2x-3.
\]
La courbe représentative de la fonction \(f\) est notée \(\mathcal C\).
1) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
2) Existe-t-il des solutions à l'équation \(f(x)=2\) ?
3) Existe-t-il des solutions à l'équation \(f(x)=-10\) ?
Exercice 2
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par :
\[
f(x)=\ln(x).
\]
La courbe représentative de la fonction \(f\) est notée \(\mathcal C\).
1) Déterminer une équation de la tangente \(\mathcal T\) à la courbe \(\mathcal C\) en \(x=e\).
2) Représenter graphiquement \(\mathcal T\) et \(\mathcal C\).
3) Démontrer mathématiquement que sur \(]0;+\infty[\), \(\mathcal T\) est située au-dessus de \(\mathcal C\).
Exercice 3
Exprimer les nombres suivants en fonction de \(\ln(2)\), \(\ln(3)\), \(\ln(5)\) et \(\ln(7)\).
\( \ln(42)\)
\(\displaystyle \ln \left(\frac{35}{6}\right)\)
\( \ln \left(\sqrt{14}\right)\)
\( \ln \left(\sqrt{70}\right)-\ln \left(\sqrt{10}\right) \)
Exercice 4
Résoudre les équations et inéquations suivantes.
\(\ln(3x+2)=2\ln(2)\)
\(\displaystyle \ln \left(\frac{51}{x}\right)=3\ln(3)\)
\(\ln(4x)-\ln(2x-1)=0\)
\(\ln(5x+1)\leq 11\)
\(\ln(2x)\geq \ln(4-x)\)
\(\left(\ln(x)\right)^{2}+5\ln(x)=-4\)
Exercice 5
1) Démontrer que
\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1.
\]
2) En déduire les limites suivantes :
a)
\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}}.
\]
b)
\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}.
\]
Exercice 6
Indiquer pour chacune des fonctions suivantes son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, et calculer sa dérivée.
\(f(x)=\ln(3x)-x^{2}+1\)
\(g(x)=\ln(3x^{2})\)
\(h(x)=\ln(x^{2}-1)\)
\(\displaystyle i(x)=\frac{\ln(x^{2}-4)}{\ln(x-e)}\)
\(\displaystyle j(x)=\frac{\ln(1+\sqrt{x-1})}{x^{2}-1}\)