FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
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Exercice 1
1) Sur l'intervalle \([0; 2\pi[\), nous avons \( \cos x \leq 0.5\) lorsque \(\displaystyle x\in \left[\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right]\).Par conséquent, les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'inéquation \( \cos x \leq 0.5\) sont tous les nombres compris dans les intervalles \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}+2k\pi;\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right]\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
2) Sur l'intervalle \([0; 2\pi[\), nous avons \(\displaystyle \sin(x) \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}\) lorsque \(\displaystyle x\in \left[0;\frac{5\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{7\pi}{4};2\pi\right[ \).
Par conséquent, les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'inéquation \(\displaystyle \sin(x) \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}\) sont tous les nombres compris dans les intervalles \(\displaystyle \left[2k\pi;\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right]\) et \(\displaystyle \left[\frac{7\pi}{4}+2k\pi;2\pi+2k\pi\right[\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
Exercice 2
1) \(\displaystyle \cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{3}{2}=0\)En posant \(X=\cos x\), nous avons alors : \[ X^{2}-\sqrt{2}X-\frac{3}{2}=0. \] On reconnaît un polynôme de degré 2. Le calcul du discriminant donne : \[ \begin{align*} \Delta&=(-\sqrt{2})^{2}-4\times 1 \times \left(-\frac{3}{2}\right) \\ &=2+6\\ &=8 \end{align*} \] Les solutions de l'équation \(\displaystyle X^{2}-\sqrt{2}X-\frac{3}{2}=0\), notées \(X_{1}\) et \(X_{2}\), sont : \[ \begin{align*} X_{1}&=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{8}}{2}\\ &=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}\\ &=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*} \] et \[ \begin{align*} X_{2}&=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}\\ &=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\\ &=\frac{3\sqrt{2}}{2} \end{align*} \] Etant donné que nous avons \(\displaystyle X_{2}=\cos x=\frac{3\sqrt{2}}{2}\), alors cette équation n'admet aucune solution. En effet, comme nous avons \(\forall x \in \mathbb{R}, \; \cos x \in [-1;1]\), il n'existe aucune valeur de \(x\) telle que \(\displaystyle \cos x= \frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2.12\).
Etant donné que nous avons \(\displaystyle X_{1}=\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), alors cette équation admet sur \(]-\pi;\pi]\) deux solutions : \(\displaystyle x_{1}=\frac{3\pi}{4}\) et \(\displaystyle x_{2}=-\frac{3\pi}{4}\).
On en déduit que sur \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\displaystyle \cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{3}{2}=0\) sont tous les nombres s'écrivant sous la forme \(\displaystyle \boxed{\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\) ou \(\displaystyle \boxed{-\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
2) \(\displaystyle \sin^{2}x-\sqrt{3}\sin x-\frac{9}{4}=0\)
En posant \(X=\sin x\), nous avons alors : \[ X^{2}-\sqrt{3}X-\frac{9}{4}=0. \] On reconnaît un polynôme de degré 2. Le calcul du discriminant donne : \[ \begin{align*} \Delta&=(-\sqrt{3})^{2}-4\times 1 \times \left(-\frac{9}{4}\right) \\ &=3+9\\ &=12 \end{align*} \] Les solutions de l'équation \(\displaystyle X^{2}-\sqrt{3}X-\frac{9}{4}=0\), notées \(X_{1}\) et \(X_{2}\), sont : \[ \begin{align*} X_{1}&=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{12}}{2}\\ &=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2}\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} \] et \[ \begin{align*} X_{2}&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{12}}{2}\\ &=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}\\ &=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{align*} \] Etant donné que nous avons \(\displaystyle X_{2}=\sin x=\frac{3\sqrt{3}}{2}\), alors cette équation n'admet aucune solution. En effet, comme nous avons \(\forall x \in \mathbb{R}, \; \sin x \in [-1;1]\), il n'existe aucune valeur de \(x\) telle que \(\displaystyle \sin x= \frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2.6\).
Etant donné que nous avons \(\displaystyle X_{1}=\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), alors cette équation admet sur \(]-\pi;\pi]\) deux solutions : \(\displaystyle x_{1}=-\frac{\pi}{3}\) et \(\displaystyle x_{2}=-\frac{2\pi}{3}\).
On en déduit que sur \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\displaystyle \sin^{2}x-\sqrt{3}\sin x-\frac{9}{4}=0\) sont tous les nombres s'écrivant sous la forme \(\displaystyle \boxed{-\frac{\pi}{3}+2k\pi}\) ou \(\displaystyle \boxed{-\frac{2\pi}{3}+2k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
Exercice 3
1) \(2\cos^{2}x-3\cos x+1\geq 0\)En posant \(X=\cos x\), nous avons alors : \[ 2X^{2}-3X+1\geq 0. \] On reconnaît un polynôme de degré 2. Le calcul du discriminant donne : \[ \begin{align*} \Delta&=(-3)^{2}-4\times 2 \times 1 \\ &=9-8\\ &=1 \end{align*} \] Les deux racines de ce polynôme notées \(X_{1}\) et \(X_{2}\), sont : \[ \begin{align*} X_{1}&=\frac{3-\sqrt{1}}{2\times 2}\\ &=\frac{2}{4}\\ &=\frac{1}{2} \end{align*} \] et \[ \begin{align*} X_{2}&=\frac{3+\sqrt{1}}{2\times 2}\\ &=\frac{4}{4}\\ &=1 \end{align*} \] Ainsi, \(2X^{2}-3X+1\geq 0\) si et seulement si \(X\leq 0.5\) ou \(X\geq 1\).
Etant donné que nous avons posé \(X=\cos X\), une seule valeur de \(x\in [0;2\pi[\) est solution de l'inéquation \(X=\cos x \geq 1\) : \(x=0\).
Concernant l'inéquation \(\displaystyle X=\cos x \leq \frac{1}{2}\), celle-ci est vérifiée sur l'intervalle \([0;2\pi[\) lorsque \(\displaystyle x\in \left[\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right]\).
On en conclut que les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'inéquation \(2\cos^{2}x-3\cos x+1\geq 0\) sont tous les nombres appartenant aux intervalles \(\displaystyle \boxed{\left[\frac{\pi}{3}+2k\pi;\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right]}\) et ceux s'écrivant sous la forme \(\boxed{2k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
2) \(\displaystyle \sin^{2}x-2\sin x+\frac{3}{4} < 0\)
En posant \(X=\sin x\), nous avons alors : \[ X^{2}-2X+\frac{3}{4}< 0. \] On reconnaît un polynôme de degré 2. Le calcul du discriminant donne : \[ \begin{align*} \Delta&=(-2)^{2}-4\times 1 \times \frac{3}{4} \\ &=4-3\\ &=1 \end{align*} \] Les deux racines de ce polynôme notées \(X_{1}\) et \(X_{2}\), sont : \[ \begin{align*} X_{1}&=\frac{2-\sqrt{1}}{2\times 1}\\ &=\frac{1}{2} \end{align*} \] et \[ \begin{align*} X_{2}&=\frac{2+\sqrt{1}}{2\times 1}\\ &=\frac{3}{2}. \end{align*} \] Ainsi, \(\displaystyle X^{2}-2X+\frac{3}{4}< 0\) si et seulement si \(\displaystyle X\in \left]\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right[\).
Etant donné que nous avons posé \(X=\sin x\), il n'existe aucune valeur de \(x\) solution de l'inéquation \(X=\sin x >1\). En effet, \(\forall x\in \mathbb{R}, \sin x \leq 1\).
Par conséquent, les solutions de cette inéquation sont telles que \(\displaystyle \frac{1}{2}<\sin x \leq 1\).
Sur l'intervalle \([0;2\pi[\), ceci est vérifié lorsque \(\displaystyle x\in \left]\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right[\).
On en conclut que les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'inéquation \(\displaystyle \sin^{2}x-2\sin x+\frac{3}{4} < 0\) sont tous les nombres appartenant aux intervalles \(\displaystyle \boxed{\left]\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right[}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
Exercice 4
1) La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^{*}\).2) Le sinus d'un nombre réel étant nécessairement compris entre -1 et 1, nous avons \(\forall x\in \mathbb{R}\) : \[ \begin{align*} &-1\leq \sin\left(2x+\pi\right)\leq 1\\ & \boxed{-4\leq 4\sin\left(2x+\pi\right)\leq 4}. \end{align*} \]
3) En utilisant l'encadrement précédent, nous avons \(\forall x\in \mathbb{R}\) : \[ \begin{align*} &-\frac{4}{x}\leq f(x)\leq \frac{4}{x} \end{align*} \] Etant donné que \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}-\frac{4}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4}{x}=0\), on en déduit par le théorème des gendarmes que\(\boxed{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}\).
Etant donné que \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}-\frac{4}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{4}{x}=0\), on en déduit par le théorème des gendarmes que\(\boxed{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}\).
4) Nous avons : \[ \begin{align*} f(-x)&=\frac{1}{-x}4\sin\left(2\times \left(-x\right)+\pi\right) \\ &=-\frac{1}{x}4\sin\left(\pi-2x\right) \\ &=-\frac{1}{x}4\times (-1)\sin\left(2x-\pi\right)\text{ (d'après Propriété 6)} \\ &=\frac{1}{x}4\sin\left(2x-\pi\right) \\ &=\frac{1}{x}4\sin\left(2x-\pi+2\pi\right) \text{ (d'après Propriété 4)} \\ &=\frac{1}{x}4\sin\left(2x+\pi\right) \\ &=f(x). \end{align*} \] Comme \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(f(-x)=f(x)\), on en conclut que la fonction \(f\) est paire.
5) Nous avons : \[ \begin{align*} &f(x)=0 \\ \Longleftrightarrow{} & \frac{1}{x}4\sin\left(2x+\pi\right)=0\\ \Longleftrightarrow{} & \sin\left(2x+\pi\right)=0\\ \end{align*} \] Sur l'intervalle \([0;\pi]\), il existe deux solutions à cette équation : \(\displaystyle \boxed{x=\frac{\pi}{2}}\) et \(\boxed{x=\pi}\).
Etant donné que la fonction est paire, on en déduit que sur l'intervalle \([-\pi;0]\), l'équation \(f(x)=0\) admet également deux solutions : \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{\pi}{2}}\) et \(\boxed{x=-\pi}\).
6) Nous avons \(\forall x\in \mathbb{R}\) : \[ \begin{align*} f'(x)&=-\frac{4}{x^{2}}\sin\left(2x+\pi\right)+\frac{4}{x}2\cos\left(2x+\pi\right)\\ &=-\frac{4}{x^{2}}\sin\left(2x+\pi\right)+\frac{8}{x}\cos\left(2x+\pi\right) \end{align*} \] En particulier, nous avons : \[ \begin{align*} f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-\frac{4}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}\sin\left(2\times \frac{\pi}{2}+\pi\right)+\frac{8}{\frac{\pi}{2}}\cos\left(2\times \frac{\pi}{2}+\pi\right)\\ &=-\frac{4}{\frac{\pi^{2}}{4}}\sin\left(2\pi\right)+\frac{16}{\pi}\cos\left(2\pi\right)\\ &=-\frac{16}{\pi^{2}}\times 0+\frac{16}{\pi}\times 1\\ &=\frac{16}{\pi} \end{align*} \] D'autre part : \[ \begin{align*} f\left(\frac{\pi}{2}\right)&=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}4\sin\left(2\times \frac{\pi}{2}+\pi\right)\\ &=\frac{8}{\pi}\sin\left(2\pi\right)\\ &=\frac{8}{\pi}\times 0\\ &=0 \end{align*} \] On en conclut que l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d'abscisse \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\) est : \[ \begin{align*} y&=f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\frac{16}{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+0\\ &=\frac{16}{\pi}x-8 \end{align*} \] \[ \boxed{y=\frac{16}{\pi}x-8} \]
Exercice 5
1) En utilisant la Propriété 16, nous pouvons écrire pour tout réel \(x\) : \[ \begin{align*} &\sin(2x)\geq 0\\ \Longleftrightarrow{} & 2\sin(x)\cos(x)\geq 0 \end{align*} \] Nous pouvons élaborer un tableau de signe pour l'expression \(2\sin(x)\cos(x)\) sur l'intervalle \([0;2\pi[\) :
Nous en concluons que sur l'intervalle \([0;2\pi[\), \(\sin(2x)\geq 0\) lorsque \(\displaystyle x\in \left[0;\frac{\pi}{2}\right]\) ou \(\displaystyle x\in \left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]\).
2) En utilisant la Propriété 15 (deuxième expression), nous pouvons écrire pour tout réel \(x\) : \[ \begin{align*} &-\cos(2x)+\cos(x)=0\\ \Longleftrightarrow{} & -\left(2\cos^{2}(x)-1\right)+\cos(x)=0 \\ \Longleftrightarrow{} & -2\cos^{2}(x)+\cos(x)+1=0 \end{align*} \] En posant \(X=\cos x\), nous avons alors : \[ -2X^{2}+X+1= 0. \] On reconnaît un polynôme de degré 2. Le calcul du discriminant donne : \[ \begin{align*} \Delta&=1^{2}-4\times (-2) \times 1 \\ &=1+8\\ &=9 \end{align*} \] Les deux racines de ce polynôme notées \(X_{1}\) et \(X_{2}\), sont : \[ \begin{align*} X_{1}&=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\times (-2)}\\ &=\frac{-1-3}{-4}\\ &=\frac{-4}{-4}\\ &=1 \end{align*} \] et \[ \begin{align*} X_{2}&=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\times (-2)}\\ &=\frac{-1+3}{-4}\\ &=\frac{2}{-4}\\ &=-\frac{1}{2} \end{align*} \] Etant donné que nous avons posé \(X=\cos X\), une seule valeur de \(x\in [0;2\pi[\) est solution de l'inéquation \(X_{1}=\cos x = 1\) : \(x=0\).
Etant donné que nous avons \(\displaystyle X_{2}=\cos x=-\frac{1}{2}\), alors cette équation admet sur \([0;2\pi[\) deux solutions : \(\displaystyle x_{1}=\frac{2\pi}{3}\) et \(\displaystyle x_{2}=\frac{4\pi}{3}\).
On en conclut que sur \([0;2\pi[\), les solutions de l'équation \(-\cos(2x)+\cos(x)=0\) sont \(\boxed{0}\), \(\displaystyle \boxed{\frac{2\pi}{3}}\) et \(\displaystyle \boxed{\frac{4\pi}{3}}\).