FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Sujet des exercices *

Exercice 1

L'objectif de cet exercice est de déterminer géométriquement la valeur du cosinus et du sinus d'un angle mesurant \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) radians.
1) Dans un repère orthonormé, placer le point \(O\) de coordonnées \((0,0)\) et le point \(A\) de coordonnées \((1,0)\).
2) Tracer le cercle trigonométrique \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(OA\).
3) Placer le point \(B\) sur le cercle \(\mathcal{C}\) associé au réel \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\).
4) Quelle est la nature du triangle \(AOB\) ?
5) Placer le point \(H\) milieu du segment \([OA]\).
6) Quelle est la nature du triangle \(BHO\) ?
7) Déterminer le cosinus de l'angle \(\widehat{HOB}\).
8) Déterminer le sinus de l'angle \(\widehat{HOB}\).
9) Conclure sur l'objectif de l'exercice.

Exercice 2

L'objectif de cet exercice est de déterminer géométriquement la valeur du cosinus et du sinus d'un angle mesurant \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) radians.
1) Dans un repère orthonormé, placer le point \(O\) de coordonnées \((0,0)\) et le point \(A\) de coordonnées \((1,0)\).
2) Tracer le cercle trigonométrique \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(OA\).
3) Placer le point \(B\) sur le cercle \(\mathcal{C}\) associé au réel \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\).
4) Placer le point \(C\) sur le cercle \(\mathcal{C}\) associé au réel \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\).
5) Placer le point \(H\) milieu du segment \([OC]\) et déterminer la longueur \(OH\).
6) Quelle est la nature du triangle \(OBC\) ?
7) Placer le point \(K\) d'ordonnée 0 tel que les droites \((BK)\) et \((OA)\) soient perpendiculaires, puis démontrer que \(OHBK\) est un rectangle.
8) Déterminer le cosinus de l'angle \(\widehat{AOB}\).
9) Déterminer le sinus de l'angle \(\widehat{AOB}\).
10) Conclure sur l'objectif de l'exercice.

Exercice 3

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\(\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\(\displaystyle \sin x= \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \sin x =1\)
\(\displaystyle \cos x = -1\)
\(\displaystyle \sin x =-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Exercice 4

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\(\displaystyle \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(\displaystyle \sin \left(-x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(3x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\displaystyle \cos \left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \sin \left(5x+\pi\right)=\sin \left(3x-\pi\right)\)

Exercice 5

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les systèmes d'équations suivants :
\[ \begin{cases} \displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{cases} \] \[ \begin{cases} \displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \displaystyle \sin x=-\frac{1}{2} \\ \end{cases} \] \[ \begin{cases} \displaystyle \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \displaystyle \sin x=-\frac{1}{2} \\ \end{cases} \]

Exercice 6

En utilisant les différentes propriétés du cours, donner la valeur exacte de :
\(\displaystyle \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)\)
\(\displaystyle \sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)\)
\(\displaystyle \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)\)
\(\displaystyle \sin \left(-\frac{\pi}{12}\right)\)

Exercice 7

Calculer les dérivées des fonctions ci-dessous définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) :
\(\displaystyle f(x)=\cos x + \sin x \)
\(\displaystyle g(x)=\cos \left(x^{2} + \frac{\pi}{6}\right) \)
\(\displaystyle h(x)=\sin (2x+4)-\sin(x+2)\)
\(\displaystyle i(x)=\sin \left(\cos x\right)\)

Exercice 8

Donner les primitives des fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\) :
\(\displaystyle f(x)=2\cos(x)\)
\(\displaystyle g(x)=3\sin(x)\)
\(\displaystyle h(x)=4\cos(2x+3)\)
\(\displaystyle i(x)=-\sin(x-1)\)

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