FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Correction des exercices *

Exercice 1

Questions 1, 2, 3 et 5 :


4) \(A\) et \(B\) sont deux points du cercle \(\mathcal{C}\) donc le triangle \(AOB\) est isocèle en \(O\).
De plus il possède un angle de 60° \(\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}\text{ radians}\right)\) donc le triangle \(AOB\) est équilatéral.

6) Le point \(H\) est le milieu du segment \([OA]\) donc la droite \((BH)\) est la médiane du triangle \(AOB\) issue du sommet \(B\).
Or dans un triangle équilatéral, la médiane est confondue en particulier avec la hauteur. Donc \([BH]\) est la hauteur issue du sommet \(B\) du triangle \(AOB\), donc les droites \((BH)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.
En conséquence, le triangle \(BHO\) est rectangle en \(H\).

7) Le triangle \(BHO\) est rectangle en \(H\), nous pouvons utiliser les formules trigonométriques pour déterminer le cosinus de l'angle \(\widehat{HOB}\).
\[ \begin{align*} \cos \widehat{HOB} &=\frac{\text{côté adjacent à l'angle }\widehat{HOB}}{\text{hypoténuse}} \\ &=\frac{HO}{OB} \\ &=\frac{\displaystyle \frac{AO}{2}}{OB} \\ &=\frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{1} \\ &=\frac{1}{2} \end{align*} \] Comme \(\displaystyle \cos \widehat{HOB} = \frac{1}{2}\), nous avons \(\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).

8) Le triangle \(BHO\) est rectangle en \(H\), nous pouvons utiliser les formules trigonométriques pour déterminer le sinus de l'angle \(\widehat{HOB}\).
\[ \begin{align*} \sin \widehat{HOB} &=\frac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{HOB}}{\text{hypoténuse}} \\ &=\frac{HB}{OB}\\ &=\frac{HB}{1}\\ &=HB \end{align*} \] Le triangle \(BHO\) étant rectangle en \(H\), nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur \(HB\).
En effet :
\[ \begin{align*} &HO^{2}+HB^{2}=OB^{2} \\ \Longleftrightarrow &HB^{2}=OB^{2}-HO^{2} \\ \Longleftrightarrow &HB^{2}=OB^{2}-\left(\frac{AO}{2}\right)^{2} \\ \Longleftrightarrow &HB^{2}=1^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \\ \Longleftrightarrow &HB^{2}=1-\frac{1}{4} \\ \Longleftrightarrow &HB^{2}=\frac{3}{4} \\ \Longleftrightarrow &HB=\sqrt{\frac{3}{4}} \\ \Longleftrightarrow &HB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \\ \Longleftrightarrow &HB=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} \] Comme \(\sin \widehat{HOB}=HB\), nous avons \(\displaystyle \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
9) Nous avons démontré que \(\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\) et \(\displaystyle \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ; c'est bien l'objectif de cet exercice et cela donne une démonstration des valeurs du cosinus et du sinus d'un angle mesurant \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) radians données dans le cours.

Exercice 2

Questions 1 à 5 :


5) \(H\) est le milieu du segment \([OC]\) donc : \[ OH=\frac{OC}{2}=\frac{1}{2} \]
6) \(B\) et \(C\) sont deux points du cercle \(\mathcal{C}\) donc \(OB=OC=1\) et le triangle OBC est isocèle en \(O\).
De plus, nous avons : \[ \begin{align*} \widehat{BOC}&=\widehat{AOC}-\widehat{AOB} \\ &=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\\ &=\frac{\pi}{3} \end{align*} \] Le triangle OBC étant isocèle avec un angle mesurant \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) radians (60 degrés), nous pouvons conclure que le triangle OBC est équilatéral.

7) Le triangle OBC est équilatéral et H est le milieu du segment \([OC]\). Par conséquent, \([BH]\) est une hauteur du triangle donc les droites \((BH)\) et \((OH)\) sont perpendiculaires en \(H\). D'après l'énoncé, les droites \((BK)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires. De plus, d'après la question 4, \(\widehat{AOC}\) est un angle droit. Par conséquent, le quadrilatère \(OHBK\) a trois angles droits ; on en conclut qu'\(OHBK\) est un rectangle.

8) \(OHBK\) est un rectangle, donc \(OH=BK=\displaystyle\frac{1}{2}\).
\(B\) est un point du cercle donc \(OB=1\).
Le triangle \(OHB\) est rectangle en \(H\), nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer \(HB\) : \[ \begin{align*} & OH^{2}+HB^{2}=OB^{2} \\ \Longleftrightarrow{} & HB^{2}=OB^{2}-OH^{2}\\ \Longleftrightarrow{} & HB=\sqrt{OB^{2}-OH^{2}}\\ \Longleftrightarrow{} & HB=\displaystyle \sqrt{1^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\\ \Longleftrightarrow{} & HB=\displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{4}}\\ \Longleftrightarrow{} & HB=\displaystyle \sqrt{\frac{3}{4}}\\ \Longleftrightarrow{} & HB=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\ \Longleftrightarrow{} & \displaystyle \boxed{HB= \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \end{align*} \] Comme \(OHBK\) est un rectangle, nous avons \(OK=HB=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Nous connaissons à présent toutes les longueurs du triangle OKB. Nous pouvons alors déterminer le cosinus de l'angle \(\widehat{AOB}\) : \[ \begin{align*} \cos \widehat{AOB}&=\frac{\text{côté adjacent à l'angle }\widehat{AOB}}{\text{hypoténuse}} \\ &=\frac{OK}{OB}\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{align*} \] Comme \(\widehat{AOB}=\displaystyle \frac{\pi}{6}\), on en déduit que : \[ \boxed{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
9) Le triangle \(KOB\) est rectangle en K, alors : \[ \begin{align*} \sin \widehat{AOB} &= \sin \widehat{KOB} \\ &=\frac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{KOB}}{\text{hypoténuse}} \\ &=\frac{BK}{OB} \\ &=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{1} \\ &=\frac{1}{2} \end{align*} \] Comme \(\widehat{AOB}=\displaystyle \frac{\pi}{6}\), on en déduit que : \[ \boxed{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}}. \]
.
10) Nous avons démontré que \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\) ; c'est bien l'objectif de cet exercice et cela donne une démonstration des valeurs du cosinus et du sinus d'un angle mesurant \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) radians données dans le cours.

Exercice 3

1) \(\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\), cette équation admet deux solutions : \(x=\displaystyle \frac{\pi}{4}\) et \(x=\displaystyle -\frac{\pi}{4}\).
Pour illustrer, sur le cercle trigonométrique ci-dessous, nous avons placé \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) sur l'axe des abscisses et représenté les deux solutions de cette équation sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) :


Dans \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) sont tous les nombres de la forme \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2k\pi\) et \(\displaystyle -\frac{\pi}{4}+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

2) \(\displaystyle \sin x= \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\), cette équation admet deux solutions : \(x=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) et \(x=\displaystyle \frac{2\pi}{3}\).
Pour illustrer, sur le cercle trigonométrique ci-dessous, nous avons placé \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) sur l'axe des ordonnées et représenté les deux solutions de cette équation sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) :


Dans \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) sont tous les nombres de la forme \(\displaystyle \frac{\pi}{3}+2k\pi\) et \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

3) \(\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}\)
Sur l'intervalle \([0;2\pi[\), cette équation admet deux solutions : \(x=\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) et \(x=\displaystyle \frac{4\pi}{3}\).
Pour illustrer, sur le cercle trigonométrique ci-dessous, nous avons placé \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) sur l'axe des abscisses et représenté les deux solutions de cette équation sur l'intervalle \([0;2\pi[\) :


Dans \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\displaystyle \cos x=-\frac{1}{2}\) sont tous les nombres de la forme \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}+2k\pi\) et \(\displaystyle \frac{4\pi}{3}+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

4) \(\displaystyle \sin x =1\)
Sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\), cette équation admet une unique solution : \(x=\displaystyle \frac{\pi}{2}\).
Dans \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\sin x=1\) sont tous les nombres de la forme \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

5) \(\displaystyle \cos x = -1\)
Sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\), cette équation admet une unique solution : \(x=\pi\).
Dans \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\cos x=-1\) sont tous les nombres de la forme \(\pi+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

6) \(\displaystyle \sin x =-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\), cette équation admet deux solutions : \(x=\displaystyle -\frac{\pi}{3}\) et \(x=-\displaystyle \frac{2\pi}{3}\).
Pour illustrer, sur le cercle trigonométrique ci-dessous, nous avons placé \(\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur l'axe des ordonnées et représenté les deux solutions de cette équation sur l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) :


Dans \(\mathbb{R}\), les solutions de l'équation \(\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) sont tous les nombres de la forme \(\displaystyle -\frac{\pi}{3}+2k\pi\) et \(\displaystyle -\frac{2\pi}{3}+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

Exercice 4

L'objectif de cet exercice est d'appliquer le Théorème 1 du cours.

1) \(\displaystyle \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
Les solutions de cette équation sont telles que \(\displaystyle x+\frac{\pi}{2}=2x+\frac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(\displaystyle x+\frac{\pi}{2}=-\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
En réarrangeant, ceci donne \(\displaystyle \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2k\pi}\) ou \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}k\pi}\) avec \(k\in \mathbb{Z}\).

2) \(\displaystyle \sin \left(-x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(3x-\frac{\pi}{6}\right)\)
Les solutions de cette équation sont telles que \(\displaystyle -x+\frac{\pi}{2}=3x-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(\displaystyle -x+\frac{\pi}{2}=\pi-\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
En réarrangeant, ceci donne \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}k\pi\) ce qui revient au même que \(\displaystyle \boxed{x=\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}k\pi}\), ou \(\displaystyle \boxed{x=\frac{\pi}{3}+k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

3) \(\displaystyle \cos \left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\)
Les solutions de cette équation sont telles que \(\displaystyle x+\frac{2\pi}{3}=2x+\frac{\pi}{2}+2k\pi\) ou \(\displaystyle x+\frac{2\pi}{3}=-\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
En réarrangeant, ceci donne \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}-2k\pi\) ce qui revient au même que \(\displaystyle \boxed{x=\frac{\pi}{6}+2k\pi}\), ou \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{7}{18}\pi+\frac{2}{3}k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

4) \(\displaystyle \sin \left(5x+\pi\right)=\sin \left(3x-\pi\right)\)
Les solutions de cette équation sont telles que \(\displaystyle 5x+\pi=3x-\pi+2k\pi\) ou \(\displaystyle 5x+\pi=\pi-\left(3x-\pi\right)+2k\pi\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).
En réarrangeant, ceci donne \(\displaystyle x=-\pi+k\pi\) ce qui revient au même que \(\displaystyle \boxed{x=k\pi}\), ou \(\displaystyle \boxed{x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

Exercice 5

1) \[ \begin{cases} \displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{cases} \] Il existe deux valeurs de \(x\) dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) telles que \(\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) : \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\) et \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}\).
Etant donné que \(\displaystyle \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\displaystyle \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), et comme la deuxième équation du système est \(\displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), on en déduit que l'unique solution de ce système d'équations dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) est \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}\).
On en conclut que les solutions de ce système dans \(\mathbb{R}\) sont tous les nombres s'écrivant sous la forme \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

2) \[ \begin{cases} \displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \displaystyle \sin x=-\frac{1}{2} \\ \end{cases} \] Il existe deux valeurs de \(x\) dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) telles que \(\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) : \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\) et \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{6}\).
Etant donné que \(\displaystyle \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\) et \(\displaystyle \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), et comme la deuxième équation du système est \(\displaystyle \sin x=-\frac{1}{2}\), on en déduit que l'unique solution de ce système d'équations dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) est \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{6}\).
On en conclut que les solutions de ce système dans \(\mathbb{R}\) sont tous les nombres s'écrivant sous la forme \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

3) \[ \begin{cases} \displaystyle \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \displaystyle \sin x=-\frac{1}{2} \\ \end{cases} \] Il existe deux valeurs de \(x\) dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) telles que \(\displaystyle \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) : \(\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}\) et \(\displaystyle x=-\frac{5\pi}{6}\).
Etant donné que \(\displaystyle \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\) et \(\displaystyle \sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), et comme la deuxième équation du système est \(\displaystyle \sin x=-\frac{1}{2}\), on en déduit que l'unique solution de ce système d'équations dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\) est \(\displaystyle x=-\frac{5\pi}{6}\).
On en conclut que les solutions de ce système dans \(\mathbb{R}\) sont tous les nombres s'écrivant sous la forme \(\displaystyle \boxed{x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\), avec \(k\in \mathbb{Z}\).

Exercice 6

1) Nous pouvons utiliser la Propriété 7 du cours. En effet : \[ \begin{align*} \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)&=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\\ &= -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\\ &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} \] Ainsi, nous avons : \[ \boxed{\cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
2) Nous pouvons utiliser la Propriété 14 du cours. En effet : \[ \begin{align*} \sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)&=\sin \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\\ &=\sin\left(\pi\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos(\pi)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\\ &=0\times \frac{\sqrt{3}}{2}+(-1)\times \frac{1}{2} \\ &=-\frac{1}{2} \end{align*} \] Ainsi, nous avons : \[ \boxed{\sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}}. \]
3) Nous pouvons utiliser la Propriété 7 du cours. En effet : \[ \begin{align*} \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)&=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\\ &= -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\\ &= -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*} \] Ainsi, nous avons : \[ \boxed{\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]
4) Nous pouvons utiliser la Propriété 13 du cours. En effet : \[ \begin{align*} \sin \left(-\frac{\pi}{12}\right)&=\sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1-\sqrt{3}}{2}\\ &=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \end{align*} \] Ainsi, nous avons : \[ \boxed{\sin \left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}} \]

Exercice 7

1) \(\displaystyle f(x)=\cos x + \sin x \)
\(\displaystyle \boxed{f'(x)=-\sin x + \cos x }\)

2) \(\displaystyle g(x)=\cos \left(x^{2} + \frac{\pi}{6}\right) \)
\(\displaystyle \boxed{g'(x)=-\sin\left(x^{2} + \frac{\pi}{6}\right) 2x}\)

3) \(\displaystyle h(x)=\sin (2x+4)-\sin(x+2)\)
\(\displaystyle \boxed{h'(x)=2\cos (2x+4)-\cos(x+2)}\)

4) \(\displaystyle i(x)=\sin \left(\cos x\right)\)
\(\displaystyle \boxed{i'(x)=-\cos \left(\cos x\right)\times \sin x}\)

Exercice 8

1) Les primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(\displaystyle f(x)=2\cos(x)\) sont les fonctions de la forme \(\boxed{x\rightarrow 2\sin x+a}\), avec \(a\in \mathbb{R}\).

2) Les primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(\displaystyle g(x)=3\sin(x)\) sont les fonctions de la forme \(\boxed{x\rightarrow -3\cos x+a}\), avec \(a\in \mathbb{R}\).

3) Les primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(\displaystyle h(x)=4\cos(2x+3)\) sont les fonctions de la forme \(\boxed{x\rightarrow 2\sin(2x+3)+a}\), avec \(a\in \mathbb{R}\).

4) Les primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(\displaystyle i(x)=-\sin(x-1)\) sont les fonctions de la forme \(\boxed{x\rightarrow \cos(x-1)+a}\), avec \(a\in \mathbb{R}\).

Correction des exercices d'entraînement sur les fonctions trigonométriques pour la terminale
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