FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES
Sujet des exercices ***

Exercice 1 (Asie juin 2009)

Sarah et Julien possèdent un téléphone portable et veulent choisir l’abonnement mensuel le plus adapté à leur besoin. Ils ont sélectionné les trois tarifs suivants :

- Tarif 1 : Le montant de la facture de téléphone en fonction du temps de communication est représenté par le graphique donné en annexe sur la dernière page.
- Tarif 2 : Le montant de la facture de téléphone est proportionnel au temps de communication et une minute de communication coûte 0,55€.
- Tarif 3 : Le montant de la facture de téléphone est obtenu de la façon suivante : on ajoute à un abonnement mensuel de 10€ un montant proportionnel au temps de communication tel qu’une minute de communication coûte 0,35€.

Tous les montants des factures de téléphone seront exprimés en euros et les temps de communication en minutes.

Partie A - Étude du tarif 1

On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 1 a été choisi.
1) Donner, par lecture graphique, le montant de la facture pour 20 minutes de communication. (Marquer sur le graphique de l’annexe les pointillés nécessaires à cette lecture).
2) Donner, par lecture graphique, la durée en minutes des communications qui correspond à une facture de 35€ (marquer sur le graphique de l’annexe les pointillés nécessaires à cette lecture).
3) Le montant de la facture selon le tarif 1 est-il proportionnel à la durée des communications ? Justifier votre réponse.

Partie B - Étude du tarif 2

On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 2 a été choisi.
1) Compléter le tableau intitulé « Étude du tarif 2 » situé dans l’annexe.
2) Si \(x\) représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 2, donner une expression du montant de la facture en fonction de \(x\).
3) Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=0.55x\) ; représenter graphiquement la fonction \(f\) dans le repère de l’annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1).

Partie C - Étude du tarif 3

On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 3 a été choisi.
1) Compléter le tableau intitulé « Étude du tarif 3 » situé dans l’annexe.
2) Si \(x\) représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 3, donner une expression du montant de la facture en fonction de \(x\).
3) Soit la fonction \(g\) définie par \(g(x)=0.35x+10\) ; représenter graphiquement la fonction \(g\) dans le repère de l’annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1).
4) Le montant de la facture selon le tarif 3 est-il proportionnel à la durée des communications ? Justifier votre réponse.

Partie D - Comparaison des tarifs

1)Sarah a besoin de téléphoner 1 h 30 min par mois. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour elle et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture.
2) Julien ne veut pas dépenser plus de 25€ par mois pour ses communications tout en souhaitant pouvoir téléphoner le plus possible. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour lui et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture.
3) Résoudre l’inéquation \(0.55x \geq 0.35x+10\). Interpréter cette inéquation et sa résolution en termes de comparaison de tarifs.

ANNEXE

Etude du tarif 2 :

Nombres de minutes de communication	20	...	100
Montant de la facture en euro selon le tarif 2	...	22	...

Etude du tarif 3 :

Nombres de minutes de communication	20	100
Montant de la facture en euro selon le tarif 3	...	...

Exercice 2 (Pondichéry avril 2009)

Les longueurs sont exprimées en centimètres.
TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4.
M est un point variable du segment [PA], et on note \(x\) la longueur du segment [PM].

1) Dans cette question, on se place dans le cas où \(x=1\).

a) Faire une figure.
b) Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.
c) Calculer les aires des triangles PTM et ARM.

2) Dans cette question, on se place dans le cas où \(x\) est un nombre inconnu.

a) Donner les valeurs entre lesquelles \(x\) peut varier.
b) Montrer que l’aire du triangle PTM est \(1.5x\) et l’aire du triangle ARM est \(10-2x\).

La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l’aire du triangle ARM en fonction de \(x\) est donnée en annexe.
Répondre aux questions suivantes, 3) et 4), en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.
Laisser apparents les traits nécessaires.

a) Pour quelle valeur de \(x\) l’aire du triangle ARM est égale à 6 cm² ?
b) Lorsque \(x\) est égal à 4 cm, quelle est l’aire du triangle ARM ?

a) Sur ce graphique donné en annexe à rendre avec la copie, tracer la droite représentant la fonction :
\[ x \rightarrow 1.5x \] b) Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de \(x\) pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires.
c) Montrer par le calcul que la valeur exacte de \(x\) pour laquelle les deux aires sont égales, est \(\displaystyle \frac{100}{35}\).

Exercice 3 (Centres étrangers 2009)

Pour la saison 2008-2009, le théâtre «MODECIA » propose les tarifs suivants :

- Tarif A : 150 € la carte permettant d’assister à tous les spectacles.
- Tarif B : 75 € l’abonnement pour la saison qui permet d’acheter une place pour 6 €.
- Tarif C : 19 € la place « plein tarif ».

1) Compléter le tableau figurant dans l’annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie.
2) Si \(x\) est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de \(x\), \(P_{A}(x)\), \(P_{B}(x)\) et \(P_{C}(x)\), le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé.
3) Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui laquelle ?
4) Dans l’annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques (T_A) et (T_C) des fonctions P_A et P_C. Tracer la représentation graphique (T_B) de la fonction P_B dans le repère de l’annexe 2.
5) Si on dispose de 100 €, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique).
6) Retrouver graphiquement le tarif le plus intéressant pour voir huit spectacles.
7) Résoudre l’inéquation : \(19x>6x+75\).
En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C.

ANNEXE 1

Nombre de spectacles	3	8	14
Tarif A	...	...	...
Tarif B	...	...	...
Tarif C	...	...	...

ANNEXE 2

Exercice 4 (Asie juin 2008)

Une entreprise construit des boîtiers électriques qui servent à distribuer le courant électrique dans les appartements.
Trois salariés Félix, Gaëlle et Henry fabriquent chaque mois le même nombre de boîtiers.
Leur salaire mensuel en euro (le symbole de l’euro est €) est calculé de la façon suivante :

- Félix a un salaire fixe de 1 500 €.
- Gaëlle a un salaire de 1 000 € augmenté de 2 € par boîtier fabriqué.
- Henry a un salaire de 7 € par boîtier fabriqué.

Chaque salarié a fabriqué 260 boîtiers au mois de janvier, 180 boîtiers en février et 200 boîtiers en mars.

1) Compléter le tableau suivant :

	Salaire de Félix	Salaire de Gaëlle	Salaire de Henry
Mois de janvier	...	...	...
Mois de février	...	...	...
Mois de mars	...	...	...

2) Soit \(x\) le nombre de boîtiers fabriqués pendant un mois.
Exprimer en fonction de \(x\) les salaires de Félix, Gaëlle et Henry.

3) Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par :
\[ \begin{align*} f(x)&=1500\\ g(x)&=1000+2x\\ h(x)&=7x \end{align*} \] On choisira comme unités :

- 1 cm pour 20 boîtiers sur l’axe des abscisses.
- 1 cm pour 100 € sur l’axe des ordonnées.

4) Par lecture graphique, préciser à partir de combien de boîtiers fabriqués en un mois on peut dire qu’Henry aura un salaire supérieur ou égal à celui de Gaëlle (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).
5) En avril, Félix et Gaëlle ont eu le même salaire. Combien de boîtiers Félix a-t-il fabriqué ? Justifier votre réponse par un calcul.
6) Les trois salariés pourront-ils toucher le même salaire mensuel ? Expliquer la réponse.

FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES Sujet des exercices ***