FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES
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Exercice 1 (Asie juin 2009)
Partie A - Étude du tarif 1
1) Par lecture graphique, on obtient une facture de 15€ pour un temps de communication égal à 20 minutes avec le tarif 1 (traits noirs).2) Par lecture graphique, on obtient un temps de communication égal à 75 minutes pour une facture de 35€ (traits noirs).
3) La représentation graphique du tarif 1 n’est pas une droite donc il n’y a pas proportionnalité entre le temps de communication et le tarif.
Partie B - Étude du tarif 2
1) Tableau| Nombres de minutes de communication | 20 | \(\displaystyle\frac{22}{0.55}=0.4\) | 100 |
| Montant de la facture en euro selon le tarif 2 | 0,55 × 20 = 11 | 22 | 0,55 × 100 = 55 |
2) 0,55 €uros est le coût d’une minute de communication. Si le temps est de \(x\) minutes, la facture sera de \(0.55x\) €uros.
3) Voir graphique (en rouge). C’est une fonction linéaire donc sa représentation graphique passe par l’origine et par les points de coordonnées (20 ; 11) (40 ; 22) et (100 ; 55).
Partie C - Étude du tarif 3
1) Tableau| Nombres de minutes de communication | ||
| Montant de la facture en euro selon le tarif 3 | 10 + 0,35 × 20 = 10 + 7 = 17€ | 10 + 0,35 × 100 = 10 + 35 = 45€ |
2) Quelque soit le temps de communication, on paie 10€ puis 0,35€ par minute. Si \(x\) est le nombre de minutes, alors la facture s’élève à \(10+0.35x\) €uros.
3) Voir graphique (en bleu). C’est une fonction affine d’ordonnée à l’origine 10 donc sa représentation graphique passe par le point de coordonnées (0 ; 10). Elle passe également par les points de coordonnées (20 ; 17) et (100 ; 45) calculés dans le tableau à la première question.
4) Le montant de la facture n’est pas proportionnel au temps de communication puisque la représentation graphique est une droite ne passant pas par l’origine du repère.
Partie D - Comparaison des tarifs
1) Sarah a besoin de téléphoner 1h30 par mois, ce qui équivaut à 90 minutes. Pour déterminer graphiquement le tarif le moins cher, on trace la droite d’équation \(x=90\) jusqu’à ce qu’elle coupe la première des courbes (on cherche l’image la plus petite de 90). Il s’agit alors du tarif 1 qui est par conséquent le moins cher.2) Julien dépense 25€ par mois. Pour déterminer graphiquement le temps de communication le plus important, on trace la droite d’équation y = 25 jusqu’à ce qu’elle coupe la dernière des courbes (on cherche le plus important antécédent de 25). Pour ce budget, le tarif 2 offre le temps de communication le plus élevé.
3) Résolution de l’inéquation
\[\begin{align*}
&0.55x \geq 0.35x+10\\ &0.55x-0.35x \geq 10\\ &0.2x \geq 10\\ &x \geq \frac{10}{0.2}\\ &x \geq 50 \text{ minutes}
\end{align*} \]
\(0.35x+10\) correspond au tarif 3 tandis que \(0.55x\) correspond au tarif 2.
On en conclut que le tarif 2 est plus cher que le 3 lorsque le temps de communication dépasse 50 minutes.
Exercice 2 (Pondichéry avril 2009)
1)a) Figure
b) On sait que PM = 1 et PA = 5 donc AM = PA – PM = 5 – 1 = 4 cm.
AM mesure 4 cm de même que AR ; par conséquent, le triangle MAR est isocèle en A.
c) Formule générale de l’aire d’un triangle
\[A=\frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2} \] Aire du triangle PTM
\[\begin{align*}
A_{PTM}&=\frac{PM\times PT}{2}\\ &=\frac{1\times 3}{2}\\ &=\frac{3}{2}\\ &=1.5
\end{align*} \] L’aire du triangle PTM est de 1,5 cm².
Aire du triangle ARM
\[\begin{align*}
A_{ARM}&=\frac{AM\times AR}{2}\\ &=\frac{4\times 4}{2}\\ &=\frac{16}{2}\\ &=8
\end{align*} \] L’aire du triangle ARM est de 8 cm².
b) On sait que PM = 1 et PA = 5 donc AM = PA – PM = 5 – 1 = 4 cm.
AM mesure 4 cm de même que AR ; par conséquent, le triangle MAR est isocèle en A.
c) Formule générale de l’aire d’un triangle
\[A=\frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2} \] Aire du triangle PTM
\[\begin{align*}
A_{PTM}&=\frac{PM\times PT}{2}\\ &=\frac{1\times 3}{2}\\ &=\frac{3}{2}\\ &=1.5
\end{align*} \] L’aire du triangle PTM est de 1,5 cm².
Aire du triangle ARM
\[\begin{align*}
A_{ARM}&=\frac{AM\times AR}{2}\\ &=\frac{4\times 4}{2}\\ &=\frac{16}{2}\\ &=8
\end{align*} \] L’aire du triangle ARM est de 8 cm².
2)
a) M appartient au segment
[AP] qui mesure 5 cm donc \(x\)
peut varier
entre 0
et 5
\[0\leq x \leq 5\] Lorsque \(x=0\), M est en P.
Lorsque \(x=5\), M est en A.
b) Aire du triangle PTM
D’après la question 1) c)
\[\begin{align*}
A_{PTM}&=\frac{PM\times PT}{2}\\ &=\frac{x\times 3}{2}\\ &=1.5x
\end{align*} \] L’aire du triangle PTM est égale à \(1.5x\).
Aire du triangle ARM
\[\begin{align*}
AM&=PA-PM=5-x\\ A_{ARM}&=\frac{AM\times AR}{2}\\ &=\frac{(5-x)\times 4}{2}\\ &=\frac{(20-4x}{2}\\ &=10-2x
\end{align*}\] L’aire du triangle ARM est égale à \(10-2x\).
3) \[0\leq x \leq 5\] Lorsque \(x=0\), M est en P.
Lorsque \(x=5\), M est en A.
b) Aire du triangle PTM
D’après la question 1) c)
\[\begin{align*}
A_{PTM}&=\frac{PM\times PT}{2}\\ &=\frac{x\times 3}{2}\\ &=1.5x
\end{align*} \] L’aire du triangle PTM est égale à \(1.5x\).
Aire du triangle ARM
\[\begin{align*}
AM&=PA-PM=5-x\\ A_{ARM}&=\frac{AM\times AR}{2}\\ &=\frac{(5-x)\times 4}{2}\\ &=\frac{(20-4x}{2}\\ &=10-2x
\end{align*}\] L’aire du triangle ARM est égale à \(10-2x\).
a) On trace la droite
d’équation y = 6 et on regarde l’abscisse du point
d’intersection de cette droite avec la courbe représentant l’aire du
triangle
RMA. On obtient \(x=2\)
cm (pointillés verts).
L’aire du triangle ARM est de 6 cm² lorsque \(x=2\) cm.
b) On trace la droite d’équation \(x=4\) et on regarde l’ordonnée du point d’intersection de cette droite avec la courbe représentant l’aire du triangle RMA. On obtient y = 2 cm² (pointillés violets).
\(x\) est égal à 4 cm lorsque l’aire du triangle ARM est de 2 cm².
4) L’aire du triangle ARM est de 6 cm² lorsque \(x=2\) cm.
b) On trace la droite d’équation \(x=4\) et on regarde l’ordonnée du point d’intersection de cette droite avec la courbe représentant l’aire du triangle RMA. On obtient y = 2 cm² (pointillés violets).
\(x\) est égal à 4 cm lorsque l’aire du triangle ARM est de 2 cm².
a) La
fonction \(x\rightarrow 1.5x\)
est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est une
droite passant par l’origine du repère. Pour la tracer, calculons les
coordonnées
d’un
autre point qui appartient à cette droite. Prenons par exemple \(x=2\).
\(y = 1,5 × 2 = 3\)
Le point (2 ; 3) appartient à cette droite.
b) On lit l’abscisse du point d’intersection des droites représentant l’aire du triangle RMA et du triangle PTM. On obtient \(x\approx 2.9\) arrondi au mm car \(2.8<x<2.9\) (pointillés orange).
c) Pour déterminer la valeur exacte de \(x\) pour laquelle les deux aires sont égales, on résout l’équation suivante :
ARMA = APTM
\[\begin{align*}
&A_{RMA}=A_{PTM}\\ &10=1.5x+2x\\ &10=3.5x\\ &x=\frac{10}{3.5}\\ &x=\frac{100}{35}
\end{align*} \] Les aires sont identiques lorsque \(\displaystyle x=\frac{100}{35}\)cm.
\(y = 1,5 × 2 = 3\)
Le point (2 ; 3) appartient à cette droite.
b) On lit l’abscisse du point d’intersection des droites représentant l’aire du triangle RMA et du triangle PTM. On obtient \(x\approx 2.9\) arrondi au mm car \(2.8<x<2.9\) (pointillés orange).
c) Pour déterminer la valeur exacte de \(x\) pour laquelle les deux aires sont égales, on résout l’équation suivante :
ARMA = APTM
\[\begin{align*}
&A_{RMA}=A_{PTM}\\ &10=1.5x+2x\\ &10=3.5x\\ &x=\frac{10}{3.5}\\ &x=\frac{100}{35}
\end{align*} \] Les aires sont identiques lorsque \(\displaystyle x=\frac{100}{35}\)cm.
Exercice 3 (Centres étrangers 2009)
1) Tableau| Nombre de spectacles | 3 | 8 | 14 |
| Tarif A | 150 | 150 | 150 |
| Tarif B | 75 + 6 × 3 = 75 + 18 = 93 | 75 + 6 × 8 = 75 + 48 = 123 | 75 + 6 × 14 = 75 + 84 = 159 |
| Tarif C | 6 × 19 = 114 | 8 × 19 =152 | 14 × 19 = 266 |
2) Tarif A : la carte à 150 €
\[P_{A}(x)=150\] Tarif B : l’abonnement à 75 € et la place à 6 €
\[P_{B}(x)=75+6x\] Tarif C : la place à 19 €
\[P_{C}(x)=19x\]
3) \(P_{C}(x)\) est une fonction linéaire puisqu’elle est de la forme \(y=ax\).
4) Voir graphique
5) Pour déterminer graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec 100 € avec le tarif C, on trace la droite d’équation \(y = 100\) et on regarde l’abscisse du point d’intersection avec la droite TC.
On obtient un nombre de spectacles compris entre 5 et 6. Il pourra donc assister à 5 spectacles.
6) On trace la droite d’équation \(x=8\) jusqu’à ce qu’elle coupe la première des trois courbes. Le tarif le plus intéressant est le tarif B, ce qui confirme le résultat trouvé dans le tableau.
7) \(19x\) représente le tarif C et \(6x+75\) le tarif B.
\[\begin{align*}
&19x>6x+75\\ &19x-6x>75\\ &13x>75\\ &x>\frac{75}{13}\\ &x>5.8 \end{align*} \] Entre 0 et 5 spectacles, le tarif C est plus avantageux que le B. Au-delà de 6 spectacles, le tarif B est plus avantageux que le C.
Exercice 4 (Asie juin 2008)
1) Tableau| Salaire de Félix | Salaire de Gaëlle | Salaire de Henry | |
| Mois de janvier | 1500 | 1000 + 2 × 260 = 1520 | 7 × 260 = 1820 |
| Mois de février | 1500 | 1000 + 2 × 180 = 1360 | 7 × 180 = 1260 |
| Mois de mars | 1500 | 1000 + 2 × 200 = 1400 | 7 × 200 = 1400 |
2) Soit \(x\) le nombre de boîtiers fabriqués pendant un mois.
Salaire de Félix : 1500
Salaire de Gaëlle : \(1000+2x\)
Salaire de Henry : \(7x\)
3) Graphique
\(f\) est une fonction constante donc sa courbe représentative est une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0 ; 1500).
\(g\) est une fonction affine donc sa courbe représentative est une droite. L'ordonnée à l'origine est 1000 donc la courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 1000). D'après le tableau de la question 1), elle passe également par les points de coordonnées (260 ; 1520), (180 ; 1360) et (200 ; 1400).
\(h\) est une fonction linéaire donc sa courbe représentative est une droite passant par l'origine du repère. D'après le tableau de la question 1), elle passe également par les points de coordonnées (260 ; 1820), (180 ; 1260) et (200 ; 1400).
4) L’abscisse du point d’intersection des courbes \(h\) et \(g\) est de 200. Cela signifie que pour 200 boîtiers fabriqués, le salaire d’Henry est le même que celui de Gaëlle.
Henry aura un salaire supérieur à celui de Gaëlle lorsque la courbe \(h\) sera située au-dessus de la courbe \(g\), c'est-à-dire lorsque le nombre de boîtiers fabriqués en un mois sera supérieur à 200.
5) Félix et Gaëlle ont le même salaire donc on doit résoudre l’équation \(f=g\).
\[\begin{align*}
&1500=1000+2x\\ &2x=1500-1000\\ &2x=500\\ &x=\frac{500}{2}\\ &x=250
\end{align*} \] Le salaire de Félix et de Gaëlle est le même lorsque le nombre de boîtiers fabriqués en un mois est de 250. (Graphiquement, on constate que l’abscisse du point d’intersection des courbes \(f\) et \(g\) est 250.)
6) Henry, Gaëlle et Félix ne pourront pas toucher le même salaire mensuel car les droites \(f\), \(g\) et \(h\) ne sont pas concourantes en un point.