EXPONENTIELLE Sujet des exercices ***

Exercice 1

Partie A
L'objectif de cette partie est de donner une approximation de \(e\).

1) Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(\displaystyle e^{x}\geq 1+x\).
2) En déduire pour tout entier naturel \(n\) non nul les deux inégalités suivantes : \[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\leq e \] \[ e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \] 3) Donner un encadrement de \(e\) à 0.01 près.

Partie B
L'objectif de cette partie est de déterminer la limite de la suite \(u_{n}\) définie pour tout entier naturel non nul par : \[ u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}. \] 4) En utilisant les résultats de la Partie A, démontrer que : \[ u_{n}\leq e, \] puis que \[ e-\frac{3}{n}\leq u_{n}. \] 5) Conclure sur la limite de la suite \(u_{n}\).

Exercice 2

Pour chacune des fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\), vous devez calculer les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\), la dérivée, dresser le tableau de variations et déterminer les éventuelles asymptotes.

1) Fonction logistique : \[ f(x)=\frac{a}{1+be^{-cx}}, \] avec \(a > 0\), \(b > 0\) et \(c > 0\).

2) Fonction de Gompertz : \[ \displaystyle f(x)=ae^{-be^{-cx}}, \] avec \(a \neq 0\), \(b > 0\) et \(c > 0\).

Sujet des exercices d'approfondissement sur l'exponentielle pour la terminale scientifique (TS)
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