EXPONENTIELLE
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Exercice 1
Partie A1) Soit \(g\) la fonction définie pour tout \(x\) réel par : \[ g(x)=e^{x}-x-1. \] \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c'est la somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
Sa dérivée \(g'\) est : \[ g'(x)=e^{x}-1 \] La fonction \(x\rightarrow e^{x}\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(e^{0}=1\), nous pouvons en déduire \(g'\leq 0\) lorsque \(x \leq 0\) et \(g'\geq 0\) lorsque \(x \geq 0\).
Par conséquent, la fonction \(g\) est décroissante sur \(]-\infty; 0]\) et croissante sur \([0;+\infty[\), elle atteint donc son minimum en 0.
Nous avons \(g(0)=e^{0}-0-1=0\), donc pour tout \(x\) réel, nous avons \(g(x) \geq 0\).
On en déduit que \(e^{x}-x-1 \geq 0\), que l'on peut encore réécrire comme \(e^{x}\geq 1+x\), c'est-à-dire l'inégalité recherchée.
2) Si l'inégalité trouvée à la question 1 est vraie pour tout réel \(x\), elle est également vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).
En replaçant \(x\) par \(\displaystyle \frac{1}{n}\) dans l'inégalité, avec \(n \in \mathbb{N}^{*}\), nous obtenons : \[ e^{\frac{1}{n}} \geq 1+\frac{1}{n} \] Etant donné que les deux expressions à gauche et à droite de l'inégalité sont de signe positif de même que \(n\), nous pouvons les élever à la puissance \(n\) sans modifier le sens de l'inégalité.
Nous obtenons ainsi : \[ \left(e^{\frac{1}{n}}\right)^{n} \geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}, \] et finalement la première inégalité désirée : \[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq e. \]
Etant donné que l'inégalité trouvée à la question 1 est vraie pour tout réel \(x\), si elle est vraie pour tout réel positif \(x=a\), elle est également vraie pour tout réel négatif \(-a\).
Nous pouvons donc également écrire pour tout réel positif \(a\) : \[ \begin{align*} & e^{-a} \geq 1+(-a)\\ \Longleftrightarrow & \frac{1}{e^{a}} \geq 1-a \\ \Longleftrightarrow & 1 \geq e^{a}(1-a), \end{align*} \] et pour tout \(a < 1\) : \[ \begin{align*} &\frac{1}{1-a} \geq e^{a} \\ \Longleftrightarrow & e^{a} \leq \frac{1}{1-a}. \end{align*} \] Prenons \(\displaystyle a=\frac{1}{n+1}\), avec \(n\in \mathbb{N}^{*}\). \(a\) est bien un réel positif et strictement inférieur à 1, donc nous pouvons écrire : \[ \begin{align*} & e^{\frac{1}{n+1}} \leq \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}\\ \Longleftrightarrow & e^{\frac{1}{n+1}} \leq \frac{1}{\frac{n+1-1}{n+1}} \\ \Longleftrightarrow & e^{\frac{1}{n+1}} \leq\frac{1}{\frac{n}{n+1}} \\ \Longleftrightarrow & e^{\frac{1}{n+1}} \leq\frac{n+1}{n} \\ \Longleftrightarrow & e^{\frac{1}{n+1}} \leq 1+\frac{1}{n} \\ \end{align*} \] Etant donné que les deux expressions à gauche et à droite de l'inégalité sont de signe positif de même que \(n+1\), nous pouvons les élever à la puissance \(n+1\) sans modifier le sens de l'inégalité :
\[ \left(e^{\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1} \leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}, \] et finalement obtenir la deuxième inégalité désirée : \[ e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}. \]
3) D'après les questions 1 et 2, nous pouvons écrire pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq e \leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n+1}}. \] En prenant \(n=10000\) par exemple, nous obtenons : \[ 2.7181 < e < 2.7184 \] donc un encadrement de \(e\) à 0.01 près est : \[ 2.71 < e < 2.72. \]
Partie B
4) D'après la question 2, nous avons pour tout entier naturel non nul \(n\) \[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq e, \] donc nous avons bien \[ u_{n}\leq e. \] A partir de la deuxième inégalité, nous avons : \[ \begin{align*} & e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \\ \Longleftrightarrow & e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \times \left(1+\frac{1}{n}\right)\\ \Longleftrightarrow & e\leq u_{n} \times \left(1+\frac{1}{n}\right)\\ \Longleftrightarrow & e\leq u_{n}+\frac{u_{n}}{n}\\ \Longleftrightarrow & e-\frac{u_{n}}{n}\leq u_{n}. \end{align*} \] Or d'après la précédente inégalité, nous avons \(u_{n}\leq e\) et d'après la question 3, nous avons \(e < 2.72 < 3\) donc finalement \(u_{n} < 3\).
En remplaçant dans la précédente inégalité, nous obtenons finalement la relation voulue : \[ e-\frac{3}{n}\leq u_{n}. \]
5) A partir de la question 4, nous pouvons écrire que : \[ e-\frac{3}{n} \leq u_{n} \leq e. \] Etant donné que \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{n}=0\), nous avons \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}e-\frac{3}{n}=e\) donc d'après le théorème du gendarme, nous pouvons en déduire que : \[ \lim_{n\rightarrow +\infty} u_{n}=e. \] La limite de la suite \(u_{n}\) est \(e\).
Exercice 2
1) Fonction logistiqueLimite en \(+\infty\)
Nous avons \(\lim_{x\rightarrow +\infty} -cx=-\infty\) car \(c > 0\) donc \(\lim_{x\rightarrow +\infty} e^{-cx}=0\). Par conséquent, \(\lim_{x\rightarrow +\infty} 1+e^{-cx}=1\) et finalement : \[ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=a. \] Nous pouvons en déduire que la droite d'équation \(y=a\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
Limite en \(-\infty\)
Nous avons \(\lim_{x\rightarrow -\infty} -cx=+\infty\) car \(c > 0\) donc \(\lim_{x\rightarrow -\infty} e^{-cx}=+\infty\). Par conséquent, \(\lim_{x\rightarrow -\infty} 1+e^{-cx}=+\infty\) et finalement : \[ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0. \] Nous pouvons en déduire que la droite d'équation \(y=0\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
Calcul de \(f'(x)\)
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c'est le quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas : en effet, nous avons \(1+be^{-cx}>0\) pour tout réel \(x\) étant donné que \(b \geq 0\).
Sa dérivée \(f'\) est : \[ \begin{align*} f'(x)&=\frac{-ab\times (-c)e^{-cx}}{\left(1+be^{-cx}\right)^{2}}\\ &=\frac{abce^{-cx}}{\left(1+be^{-cx}\right)^{2}} \end{align*} \] Etant donné que \(a > 0\), \(b > 0\) et \(c > 0\), nous avons \(f'(x) > 0\) pour tout réel \(x\), donc la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Nous pouvons dresser à présent le tableau de variations de la fonction \(f\) :
Ci-dessous, nous avons tracé la fonction logistique lorsque \(a=1\), \(b=1\) et \(c=1\) :
2) Fonction de Gompertz
Limite en \(+\infty\)
Nous avons \(\lim_{x\rightarrow +\infty} -cx=-\infty\) car \(c > 0\) donc \(\lim_{x\rightarrow +\infty} e^{-cx}=0\). Par conséquent, \(\lim_{x\rightarrow +\infty} e^{-be^{-cx}}=1\) et finalement : \[ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=a. \] Nous pouvons en déduire que la droite d'équation \(y=a\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
Limite en \(-\infty\)
Nous avons \(\lim_{x\rightarrow -\infty} -cx=+\infty\) car \(c > 0\) donc \(\lim_{x\rightarrow -\infty} e^{-cx}=+\infty\). Par conséquent, \(\lim_{x\rightarrow -\infty} e^{-be^{-cx}}=0\) et finalement : \[ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0. \] Nous pouvons en déduire que la droite d'équation \(y=0\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
Calcul de \(f'(x)\)
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c'est la composée de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
Sa dérivée \(f'\) est : \[ \begin{align*} f'(x)&=a\times \left(-be^{-cx}\right)'e^{-be^{-cx}}\\ &=-ab\times (-c)\times e^{-cx}e^{-be^{-cx}}\\ &=abce^{-cx}e^{-be^{-cx}} \end{align*} \] Etant donné que \(b > 0\) et \(c > 0\), les exponentielles étant toutes positives, le signe de \(f'\) est le signe de \(a\). Si \(a > 0\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Si \(a < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Nous pouvons dresser à présent le tableau de variations de la fonction \(f\).
Cas \(a > 0\) :
Cas \(a < 0\) :
Ci-dessous, nous avons tracé la fonction de Gompertz avec \(b=c=1\) en distinguant deux cas : \(a=1\) et \(a=-1\).
