EXPONENTIELLE
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Exercice 1
1) Rappeler le domaine de définition de la fonction \(f(x)=e^{x}\).
2) Déterminer les limites suivantes :
\(\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)\)
3) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) observe-t'on :
\(f(x)=-2\text{ ?}\)
\(f(x)=0\text{ ?}\)
\(f(x)=1\text{ ?}\)
4) Quelle est la dérivée de la fonction \(f\) ?
5) Sur l'intervalle de définition donné à la question 1, la fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ?
Exercice 2
Soit \(x\) un réel. Simplifiez les expressions suivantes :\(e^{1+x}\times e^{-2x+4}\)
\(e^{-2-x}\times e^{x+2} \)
\(e^{0}+e^{1}\)
\(\displaystyle \frac{e^{x+2}}{e^{3-2x}}\)
\(\displaystyle \left(2x\frac{e^{\sqrt{x}-1}}{e^{2\sqrt{x}-1}}\right)^{2}\)
Exercice 3
Soit \(x\) un réel. Résoudre les équations suivantes :\(e^{-x}=1\)
\(e^{4x+5}=1\)
\(e^{-3\pi}=e^{2x+5}\)
\(\displaystyle \frac{1}{e^{3}}=e^{x^{2}+4x}\)
\(e^{x}=0\)
\(\displaystyle e^{-2x}=\frac{7}{e^{2x}+6}\)
Exercice 4
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :\(e^{3x+2} < e^{4x-1}\)
\(e^{3x}-e^{2x-2} > 0\)
\(\displaystyle 1-\frac{1}{e^{x}} \leq 0\)
\(\displaystyle e^{4x}-\frac{1}{e^{2x}}\geq 0\)
Exercice 5
Déterminer le signe des expressions suivantes :\(e^{x}+1\)
\(1-e^{2x}\)
\(e^{x}-e^{2(x+1)}\)
\(e^{x}-e^{-x}\)
Exercice 6
Etudier les limites suivantes :\(\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}+x\)
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} xe^{x}\)
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} xe^{-x}\)
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} x-e^{x}+5\)
\(\lim_{x \rightarrow -\infty} xe^{x}\)
Exercice 7
Etudier les limites suivantes :\(\lim_{x \rightarrow +\infty} (3x+1)e^{-x}\)
\(\lim_{x \rightarrow -\infty} (e^{-x}+2)x\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x}-20}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{\frac{1}{x}}+5}{\frac{1}{x}}\)