EXPONENTIELLE Correction des exercices *

Exercice 1

1) La fontion \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

2) D'après le cours, nous avons :
\(\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty\)

3) Etant donné que \(e^{x}>0\) pour tout réel \(x\), les équations \(f(x)=-2\) et \(f(x)=0\) n'admettent aucune solution.
D'après le cours, nous avons \(f(x)=1\) lorsque \(x=0\).

4) D'après le cours, nous avons : \[ f'(x)=e^{x} \]
5) Etant donné que \(f'(x)=e^{x}>0\) pour tout réel \(x\), la fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 2

\(e^{1+x}\times e^{-2x+4}\)
\(= e^{1+x+(-2x+4)}\)
\(= e^{1+x-2x+4}\)
\(= e^{5-x}\)


\(e^{-2-x}\times e^{x+2} \)
\(=e^{-2-x+x+2}\)
\(=e^{0}\)
\(=1\)


\(e^{0}+e^{1}\)
\(=1+e\)


\(\displaystyle \frac{e^{x+2}}{e^{3-2x}}\)
\(=e^{x+2-(3-2x)}\)
\(=e^{x+2-3+2x}\)
\(=e^{3x-1}\)


\(\displaystyle \left(2x\frac{e^{\sqrt{x}-1}}{e^{2\sqrt{x}-1}}\right)^{2}\)
\(=(2x)^{2}\times \displaystyle \left(\frac{e^{\sqrt{x}-1}}{e^{2\sqrt{x}-1}}\right)^{2}\)
\(=4x^{2}\times \left(e^{\sqrt{x}-1-\left(2\sqrt{x}-1\right)}\right)^{2}\)
\(=4x^{2}\times \left(e^{\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+1}\right)^{2}\)
\(=4x^{2}\times \left(e^{-\sqrt{x}}\right)^{2}\)
\(=4x^{2} e^{-2\sqrt{x}}\)

Exercice 3

Dans cet exercice, on utilise la propriété 5 du cours sur les exponentielles.

\(e^{-x}=1\)
\(\Leftrightarrow \, e^{-x}=e^{0}\)
\(\Leftrightarrow \, -x=0\)
\(\Leftrightarrow \, x=0\)
Cette équation admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\) : \(x=0\).

\(e^{4x+5}=1\)
\(\Leftrightarrow \, e^{4x+5}=e^{0}\)
\(\Leftrightarrow \, 4x+5=0\)
\(\Leftrightarrow \, 4x=-5\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \, x=-\frac{5}{4}\)
Cette équation admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\) : \(\displaystyle x=-\frac{5}{4}\).

\(e^{-3\pi}=e^{2x+5}\)
\(\Leftrightarrow \, -3\pi=2x+5\)
\(\Leftrightarrow \, 2x=-3\pi-5\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \, x=\frac{-3\pi-5}{2}\)
Cette équation admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\) : \(\displaystyle x=\frac{-3\pi-5}{2}\).

\(\displaystyle \frac{1}{e^{3}}=e^{x^{2}+4x}\)
\(\Leftrightarrow \, 1=e^{x^{2}+4x}\times e^{3}\)
\(\Leftrightarrow \, 1=e^{x^{2}+4x+3}\)
\(\Leftrightarrow \, e^{0}=e^{x^{2}+4x+3}\)
\(\Leftrightarrow \, 0=x^{2}+4x+3\)
Calcul du discriminant du polynome de second degré \(x^{2}+4x+3\) :
\(\Delta=4^{2}-4\times 1 \times 3\)
\(\Delta=16-12\)
\(\Delta=4\)
L'équation \(x^{2}+4x+3=0\) admet deux solutions :
\(\displaystyle x_{1}=\frac{-4-\sqrt{4}}{2}=\frac{-6}{2}=-3\)
et
\(\displaystyle x_{2}=\frac{-4+\sqrt{4}}{2}=\frac{-2}{2}=-1\)
Au final cette équation admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\) : \(x=-3\) et \(x=-1\).


\(e^{x}=0\)
Nous savons d'après le cours que \(e^{x}>0\) pour tout réel \(x\), par conséquent cette équation n'admet aucune solution.


\(\displaystyle e^{-2x}=\frac{7}{e^{2x}+6}\)
\(\Leftrightarrow \, e^{-2x}\times \left(e^{2x}+6\right)=7\)
\(\Leftrightarrow \, e^{-2x}e^{2x}+6e^{-2x}=7\)
\(\Leftrightarrow \, e^{-2x+2x}+6e^{-2x}=7\)
\(\Leftrightarrow \, e^{0}+6e^{-2x}=7\)
\(\Leftrightarrow \, 1+6e^{-2x}=7\)
\(\Leftrightarrow \, 6e^{-2x}=6\)
\(\Leftrightarrow \, e^{-2x}=1\)
\(\Leftrightarrow \, e^{-2x}=e^{0}\)
\(\Leftrightarrow \, -2x=0\)
\(\Leftrightarrow \, x=0\)
Cette équation admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\) : \(x=0\).

Exercice 4

\(e^{3x+2} < e^{4x-1}\)
\(\Leftrightarrow \, 3x+2 < 4x-1\) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow \, 2+1 < 4x-3x\)
\(\Leftrightarrow \, 3 < x\)
\(\Leftrightarrow \, x>3\)
Les solutions de cette inéquation sont tous les réels strictement supérieurs à 3.


\(\Leftrightarrow \, e^{3x}-e^{2x-2} > 0\)
\(\Leftrightarrow \, e^{3x} > e^{2x-2}\)
\(\Leftrightarrow \, 3x > 2x-2\) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow \, 3x-2x > -2\)
\(\Leftrightarrow \, x > -2\)
Les solutions de cette inéquation sont tous les réels strictement supérieurs à -2.


\(\displaystyle 1-\frac{1}{e^{x}} \leq 0\)
\(\Leftrightarrow \, \displaystyle 1 \leq \frac{1}{e^{x}} \)
\(\Leftrightarrow \, \displaystyle e^{x} \leq 1 \)
\(\Leftrightarrow \, \displaystyle e^{x} \leq e^{0} \)
\(\Leftrightarrow \, \displaystyle x \leq 0 \) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Les solutions de cette inéquation sont tous les réels négatifs.


\(\displaystyle e^{4x}-\frac{1}{e^{2x}}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \, \displaystyle e^{4x} \geq \frac{1}{e^{2x}}\)
\(\Leftrightarrow \, e^{4x}\times e^{2x} \geq 1\)
\(\Leftrightarrow \, e^{4x+2x} \geq 1\)
\(\Leftrightarrow \, e^{6x} \geq 1\)
\(\Leftrightarrow \, e^{6x} \geq e^{0}\)
\(\Leftrightarrow \, 6x \geq 0\) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow \, x \geq 0\)
Les solutions de cette inéquation sont tous les réels positifs.

Exercice 5

D'après le cours, \(e^{x} > 0\) pour tout réel \(x\) donc :
\(e^{x}+1 > 1 > 0\)
Cette expression est donc toujours de signe positif, pour tout réel \(x\).


Déterminons le signe de \(1-e^{2x}\).
Cette expression est de signe positif lorsque :
\(1-e^{2x} > 0\)
\(\Leftrightarrow \, 1-e^{2x} > 0\)
\(\Leftrightarrow \, 1 > e^{2x}\)
\(\Leftrightarrow \, e^{0} > e^{2x}\)
\(\Leftrightarrow \, 0 > 2x\) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow \, x > 0\).
Nous pouvons de même démontrer que cette expression est négative lorsque \(x < 0\), et nulle lorsque \(x = 0\).
Au final :


Déterminons le signe de \(e^{x}-e^{2(x+1)}\).
Cette expression est de signe positif lorsque :
\(e^{x}-e^{2(x+1)} > 0\)
\(\Leftrightarrow \, e^{x} > e^{2(x+1)}\)
\(\Leftrightarrow \, x > 2(x+1)\) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow \, x > 2x+2\)
\(\Leftrightarrow \, -2 > x\)
\(\Leftrightarrow \, x < -2\)
Nous pouvons de même démontrer que cette expression est négative lorsque \(x > -2\), et nulle lorsque \(x = -2\).
Au final :


Déterminons le signe de \(e^{x}-e^{-x}\).
Cette expression est de signe positif lorsque :
\(e^{x}-e^{-x} > 0\)
\(\Leftrightarrow \, e^{x} > e^{-x}\)
\(\Leftrightarrow \, x > -x\) car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow \, x+x > 0\)
\(\Leftrightarrow \, 2x > 0\)
\(\Leftrightarrow \, x > 0\)
Nous pouvons de même démontrer que cette expression est négative lorsque \(x < 0\), et nulle lorsque \(x = 0\).
Au final :

Exercice 6

1) D'après le cours, \(\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}=+\infty\) donc : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}+x=+\infty \]
2) D'après le cours, \(\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}=+\infty\) donc : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} xe^{x}=+\infty \]
3) Nous pouvons réécrire \(xe^{-x}\) de la façon suivante :
\(\displaystyle xe^{-x}=\frac{x}{e^{x}}=\frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}\).
Or d'après le cours, nous savons que \(\lim_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle \frac{e^{x}}{x}=+\infty\). Par conséquent : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} xe^{-x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}=0. \]
4) Nous pouvons réécrire \(x-e^{x}+5\) de la façon suivante : \(\displaystyle x-e^{x}+5=x\left(1-\frac{e^{x}}{x}+\frac{5}{x}\right)\).
Or d'après le cours, nous savons que \(\lim_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle \frac{e^{x}}{x}=+\infty\). D'autre part, \(\lim_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle \frac{5}{x}=0\), donc \(\lim_{x \rightarrow +\infty}\displaystyle 1-\frac{e^{x}}{x}+\frac{5}{x}=-\infty\).
Par conséquent : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} x-e^{x}+5=\lim_{x \rightarrow +\infty}x\left(1-\frac{e^{x}}{x}+\frac{5}{x}\right)=-\infty. \]
5) Nous avons : \[ \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty} xe^{x}&=\lim_{x \rightarrow +\infty} -xe^{-x} \\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac{x}{e^{x}}\\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}. \end{align*} \] En utilisant le résultat de la question 3, nous avons immédiatement : \[ \lim_{x \rightarrow -\infty} xe^{x}=0. \]

Exercice 7

1) Nous avons : \[ \begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} (3x+1)e^{-x}&=\lim_{x \rightarrow +\infty} 3xe^{-x}+e^{-x} \\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty} 3\frac{x}{e^{x}}+\frac{1}{e^{x}}\\ &=\lim_{x \rightarrow +\infty} 3\frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}+\frac{1}{e^{x}}\\ \end{align*} \] D'après le cours, \(\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x}=+\infty\) donc \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{e^{x}}=0\).
Nous savons aussi d'après le cours que \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty\), donc \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}=0\).
Par conséquent : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} (3x+1)e^{-x}=0. \]
2) Nous avons \(\lim_{x \rightarrow -\infty} e^{-x}=\lim_{X \rightarrow +\infty} e^{X}=+\infty\) donc \(\lim_{x \rightarrow -\infty} e^{-x}+2=+\infty\).
Par conséquent, nous avons : \[ \lim_{x \rightarrow -\infty} (e^{-x}+2)x=-\infty. \]
3) Nous avons :
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x}-20}{x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x}}{x}-\frac{20}{x}\).
Comme \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{20}{x}=0\), nous pouvons conclure que : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{x}-20}{x}=+\infty. \]
4) Nous avons : \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{\frac{1}{x}}+5}{\frac{1}{x}}=\lim_{X \rightarrow +\infty} \frac{e^{X}+5}{X}=\lim_{X \rightarrow +\infty} \frac{e^{X}}{X}+\frac{5}{X}\)
Nous savons que \(\displaystyle \lim_{X \rightarrow +\infty} \frac{e^{X}}{X}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{X \rightarrow +\infty}\frac{5}{X}=0\).
Par conséquent : \[ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{\frac{1}{x}}+5}{\frac{1}{x}}=+\infty. \]

Correction des exercices d'entraînement sur l'exponentielle pour la terminale scientifique (TS)
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