GEOMETRIE DANS L'ESPACE, VOLUMES Sujet des exercices ***
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Exercice 1 (Amérique du sud novembre 2005)
Une
calotte sphérique est un solide obtenu en sectionnant une sphère par un
plan.
Un doseur de lessive liquide, représenté ci-contre, a la forme d’une
calotte sphérique de centre O et de rayon \(R\) = OA = 4,5 cm.
L’ouverture de ce récipent est délimitée par le cercle de centre H et
de rayon HA = 2,7 cm.
La hauteur totale de ce doseur est HK.
1) Dessiner en vraie grandeur le triangle AHO.
2) Calculer OH en justifiant puis en déduire que la hauteur totale HK
du doseur mesure exactement 8,1 cm.
3) Le volume \(V\) d’une calotte sphérique de rayon \(R\) et de hauteur \(h\) est
donné par la formule :
\[
V=\frac{1}{3}\pi h^{2}(3R-h)
\]
Calculer en fonction de \(\pi\) le volume exact du doseur en cm
3.
En déduire la capacité totale arrondie au millilitre du doseur.
Exercice 2 (Amérique du nord mai 2007)
SABCD est une pyramide à base
rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On
donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm.
1) Calculer le volume \(V_{1}\) de la pyramide SABCD.
2) Démontrer que SB = 17 cm.
3) On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de [SB]
tel que SF = 13,6.
Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
4) On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la
base de la pyramide. La pyramide SEFGH ainsi obtenue est une réduction
de la pyramide SABCD.
a) Quel est le coefficient
de la réduction ?
b) En déduire le volume \(V_{2}\) de la pyramide SEFGH
en fonction de \(V_{1}\).
Exercice 3 (Asie juin 2008)
Sur la pyramide SABCD à base rectangulaire ci-dessous, H est le centre
du rectangle ABCD et (SH) est perpendiculaire à la base ABCD.
La représentation
ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.
De plus, on a : SA = SB = SC = SD = 8,5 cm, CD = 12 cm et BC = 9 cm.
1) Tracer en vraie grandeur la face ABCD.
2) Vérifier par le calcul que HD = 7,5 cm.
3) Tracer en vraie grandeur le triangle SBD et placer le point H.
4) Calculer SH.
5) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
Exercice 4 (Pondichéry avril 2009)
On considère une bougie conique représentée ci-dessous.
(La figure n’est pas aux
dimensions réelles.)
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.
1) Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en
vraie grandeur.
2) Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6 cm.
3) Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette
bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm
3
?
4) Calculer l’angle \(\widehat{ASO}\)
; on donnera la valeur arrondie au degré.
Exercice 5 (Amérique du nord juin 2014)
Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les
péniches sont équipées de « boudins » de protection. Calculer
le volume exact en cm
3 du "boudin" de protection
ci-dessous, puis
arrondir au centième :
Rappel :
Volume d'un cylindre de
révolution : \(V = \pi R^{2}h\)
où \(h\) désigne la hauteur du cylindre et \(R\) le rayon de la base.
Volume d'une boule
: \( \displaystyle V =\frac{4}{3}\pi R^{3}, \)
où \(R\) désigne le rayon de la boule.
Exercice 6 (Amérique du sud novembre 2014)
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
M est un point de [FG] et N un point de [EF].
On donne : FE = 15 cm ; FG = 10 cm ; FB = 5 cm ; FN = 4 cm ; FM = 3 cm.
1) Démontrer que l’aire du triangle FNM est égal à 6 cm
2.
2) Calculer le volume de la pyramide de sommet B et de base le triangle
FNM.
On rappelle que le volume d’une pyramide : \(\displaystyle V=\frac{B \times h}{3}\)
où \(B\) est l'aire de la base et \(h\) la hauteur de la pyramide.
3) On considère le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide
précédente au parallélépipède rectangle.
a) Calculer son volume.
b) On appelle caractéristique d’Euler d’un solide le nombre \(x\) tel que :
\(
x=\text{ nombre de faces }\) \(-
\text{ nombre d'arêtes }\) \(+\text{ nombre de sommets}\)
Recopier et compléter le tableau suivant :
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Parallélépipède
ABCDEFGH |
Solide
ABCDENMGH |
Nombre
de faces |
|
|
Nombre
d'arêtes |
|
|
Nombre
de sommets |
|
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Caractéristique
\(x\) |
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Exercice 7 (Amérique du nord juin 2012)
On considère un sablier composé de deux cônes identiques de même sommet
C et dont le rayon de la base est AK = 1,5 cm. Pour le protéger, il est
enfermé dans un cylindre de hauteur 6 cm et de même base que les deux
cônes.
1) On note \(V\) le volume du cylindre et \(V_1\) le
volume du sablier. Tous les volumes seront exprimés en cm
3.
a) Montrer que la valeur
exacte du volume \(V\) du cylindre est \(13.5\pi\).
b) Montrer que la valeur exacte de \(V_{1}\) est \(4.5\pi\).
c) Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier
occupe-t-il ?
(On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible).
Rappel : La
formule du volume du cône est : \(\displaystyle \frac{\text{aire de la base} \times \text{ hauteur}}{3}\).
2) On a mis 12 cm
3 de sable dans le sablier.
Sachant que le sable va s’écouler d’un cône à l’autre avec un débit de
240 cm
3/h, quel temps sera mesuré par ce sablier
?
Exercice 8 (Nouvelle-Calédonie décembre 2012)
La figure ci-dessous représente la situation.
Cette figure n’est pas en vraie
grandeur.
1) Calculer le volume en m
3 d’une boule
de rayon 5 m. Donner l’arrondi à l’unité près.
On rappelle la formule du volume d’une boule de rayon \(R\) : \(\displaystyle V_{\text{ boule}}=\frac{4\times \pi \times R^{3}}{3}\).
2)
En réalité, l’aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure
(visible aux visiteurs) est une "calotte sphérique". La partie
inférieure (enfouie) abrite les machines.
a)
Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal
du sol et l’aquarium (la partie grisée sur la figure) ?
b) Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions
réelles suivantes :
OH = 3m ; RO = 5m ; HR = 4m, où H et R sont les points placés sur le
sol comme sur la figure.
Le triangle OHR est-il rectangle ? Justifier.
3)
a) T est un point de la
sphère tel que les points T, O, H soient alignés comme sur la figure.
Calculer la hauteur HT de la partie visible de l’aquarium.
b) Le volume d’une
calotte sphérique de rayon 5m est donné par la formule : \(\displaystyle V_{\text{calotte}}=\frac{\pi \times h^{2}}{3}\times (15-h)\)
où \(h\) désigne sa hauteur
(correspondant à la longueur HT sur la figure).
Calculer le volume en litres de cette calotte sphérique.
c) Pour cette question, on prendra comme volume de l’aquarium 469 000
litres.
Des
pompes délivrent à débit constant de l’eau de mer pour remplir
l’aquarium vide. En 2 heures de fonctionnement, les pompes réunies y
injectent 14 000 litres d’eau de mer.
Au bout de combien d’heures de fonctionnement, les pompes auront-elles
rempli l’aquarium?
Sujet des exercices de brevet sur la géométrie dans l'espace et les volumes pour la troisième (3ème)
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