GEOMETRIE DANS L'ESPACE, VOLUMES
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Exercice 1 (Amérique du sud novembre 2005)
1) Triangle AHO :
2) Le triangle AHO est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore :
\[ \begin{align*} &AH^{2}+OH^{2}=AO^{2}\\ &OH^{2}=AO^{2}-AH^{2}\\ &OH^{2}=4.5^{2}-2.7^{2}\\ &OH^{2}=12.96\\ &OH=\sqrt{12.96}\\ &OH=3.6 \end{align*}\] OH mesure 3,6 cm.
OK et OA sont deux rayons de la sphère de centre O donc OK = OA = 4,5 cm.
On en déduit HK :
HK = OH + OK = 3,6 + 4,5 = 8,1 cm
HK mesure 8,1 cm.
3) Calcul du volume :
\[ \begin{align*} V&=\frac{1}{3}\pi h^{2}(3R-h)\\ &=\frac{1}{3}\pi \times HK^{2} \times (3 \times OA-HK)\\ &=\frac{1}{3}\pi \times 8.1^{2} \times (3 \times 4.5-8.1)\\ &=\frac{1}{3}\pi \times 8.1^{2} \times 5.4\\ &=\frac{1}{3}\pi \times 354.294\\ &=118.098 \pi \text{ cm}^{3} \end{align*}\] Comme 1 ml = 1 cm3, on a :
\[\begin{align*} V&\approx 371 \text{ cm}^{3}\\ &\approx 371 \text{ ml} \end{align*}\] Ce doseur a un volume égal à 371 millilitres (valeur arrondie au millilitre près).
Exercice 2 (Amérique du nord mai 2007)
1) Volume de la pyramide SABCD :\[\begin{align*} V_{1}&=\frac{\text{Aire de la base} \times \text{ hauteur}}{3}\\ &=\frac{(AB \times BC) \times SA}{3}\\ &=\frac{8\times 11 \times 15}{3}\\ &=440 \text{ cm}^{3} \end{align*}\] Le volume de la pyramide SABCD est de 440 cm3.
2) On sait que [SA] est la hauteur de la pyramide SABCD donc [SA] est perpendiculaire à [AB] donc le triangle SAB est rectangle en A. On peut utiliser le théorème de Pythagore dans ce triangle pour déterminer la longueur SB.
\[\begin{align*} &SA^{2}+AB^{2}=SB^{2}\\ &SB^{2}=15^{2}+8^{2}\\ &SB^{2}=225+64\\ &SB^{2}=289\\ &SB=\sqrt{289}\\ &SB=17 \end{align*}\] La longueur SB mesure 17 cm.
3) Les points S, E, A d’une part et les points S, F, B d’autre part sont alignés dans le même ordre. On a de plus :
\[\begin{align*} &\frac{SE}{SA}=\frac{12}{15}=0.8\\ &\frac{SF}{SB}=\frac{13.6}{17}=0.8
\end{align*}\] Nous avons par conséquent :
\[ \frac{SE}{SA}=\frac{SF}{SB} \] Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
4)
a) Calcul du coefficient
de réduction :
\[ k=\frac{SE}{SA}=0.8 \] Le coefficient de réduction est de 0,8.
b) Si on multiplie les dimensions de la pyramide SABCD par 0,8, on multipliera son volume par 0,83 pour obtenir celui de la pyramide SEFGH.
\[\begin{align*} V_{2}&=k^{3} \times V_{1}\\ &=0.8^{3}\times 440\\ &=225.28 \text{ cm}^{3}
\end{align*}\] Le volume de la pyramide SEFGH est de 225,28 cm3.
\[ k=\frac{SE}{SA}=0.8 \] Le coefficient de réduction est de 0,8.
b) Si on multiplie les dimensions de la pyramide SABCD par 0,8, on multipliera son volume par 0,83 pour obtenir celui de la pyramide SEFGH.
\[\begin{align*} V_{2}&=k^{3} \times V_{1}\\ &=0.8^{3}\times 440\\ &=225.28 \text{ cm}^{3}
\end{align*}\] Le volume de la pyramide SEFGH est de 225,28 cm3.
Exercice 3 (Asie juin 2008)
1) La pyramide SABCD est à base rectangulaire donc ABCD est un rectangle avec CD = AB = 12 cm et AD = BC = 9 cm.
2) Le triangle BCD est rectangle en C donc on peut utiliser le théorème de Pythagore et écrire l’égalité suivante :
\[\begin{align*} &BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}\\ &BD^{2}=9^{2}+12^{2}\\ &BD^{2}=81+144\\ &BD^{2}=225\\ &BD=\sqrt{225}\\ &BD=15
\end{align*}\] La longueur BD mesure 15 cm.
H est le centre du rectangle ABCD donc il est le milieu de la diagonale [BD].
\[ HD=\frac{1}{2} \times BD = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5 \] HD mesure 7,5 cm.
3) Le triangle SBD est isocèle en S puisque SB = SD = 8,5 et le côté [BD] mesure 15 cm. On sait également que H est le milieu de [BD].
4) (SH) est perpendiculaire à la base ABCD donc le triangle SHD est rectangle en H.
D’après le théorème de Pythagore :
\[\begin{align*} &SH^{2}+HD^{2}=SC^{2}\\ &SH^{2}=SC^{2}-HD^{2}\\ &SH^{2}=8.5^{2}-7.5^{2}\\ &SH^{2}=72.25-56.25\\ &SH^{2}=16\\ &SH=\sqrt{16}\\ &SH=4
\end{align*}\] La longueur SH mesure 4 cm.
5) Volume de la pyramide SABCD
\[\begin{align*} V&=\frac{\text{Aire de la base} \times \text{ hauteur}}{3}\\ &=\frac{BC \times CD \times SH}{3}\\ &=\frac{9\times 12 \times 4}{3}\\ &=144 \text{ cm}^{3}\\ \end{align*}\] Le volume de la pyramide est de 144 cm3.
Exercice 4 (Pondichéry avril 2009)
1) Le triangle SAO est rectangle en O.On trace le segment [AO] mesurant 2,5 cm, puis la perpendiculaire à (OA) passant par O. Avec un compas, prendre un écartement de 6,5 cm. Pointe sèche en A et arc de cercle coupant la perpendiculaire à (OA) en S. Tracer le côté [AS].
2) Le triangle SAO est rectangle en O ; on peut donc utiliser le théorème de Pythagore et écrire l’égalité suivante :
\[\begin{align*} &AO^{2}+OS^{2}=AS^{2}\\ &OS^{2}=AS^{2}-AO^{2}\\ &OS^{2}=6.5^{2}-2.5^{2}\\ &OS^{2}=42.25-6.25\\ &OS^{2}=36\\ &OS=\sqrt{36}\\ &OS=6
\end{align*}\] OS mesure 6 cm.
3) Calcul du volume :
\[\begin{align*} V&=\frac{\text{Aire de la base} \times \text{ hauteur}}{3}\\ &=\frac{\pi r^{2}h}{3}\\ &=\frac{\pi\times AO^{2} \times OS}{3}\\ &=\frac{\pi\times 2.5^{2} \times 6}{3}\\ &=12.5\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 39.3 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée}\\ \end{align*}\] Le volume de la bougie est de 39,3 cm3.
4) Le triangle SAO est rectangle en O ; on peut donc utiliser les formules trigonométriques pour déterminer la mesure de l’angle \(\widehat{ASO}\).
\[\cos \widehat{ASO}=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\frac{OS}{AS}=\frac{6}{6.5}=\frac{12}{13}\] D’après la calculatrice, \(\widehat{ASO}\approx 23^{\circ}\).
Exercice 5 (Amérique du nord juin 2014)
Le boudin de protection est composé d'un cylindre et de deux demi-boules qui équivalent à une boule.Le diamètre de la boule mesure 16 cm (longueur AC) donc le rayon est de 8 cm.
Calcul du volume de la boule :
\[\begin{align*} V_{\text{boule}}&=\frac{4}{3}\pi \times 8^{3}\\ &=\frac{2048}{3}\pi\\ \end{align*}\] Calcul du volume du cylindre :
\[\begin{align*} V_{\text{cylindre}}&=\pi \times 8^{2} \times 50\\ &=3200\pi\\ \end{align*}\] Volume total du boudin de protection :
\[\begin{align*} V&=V_{\text{boule}}+ V_{\text{cylindre}}\\ &=\frac{2048}{3}\pi +3200\pi\\ &=\frac{2048}{3}\pi +\frac{9600}{3}\pi\\ &=\frac{11648}{3}\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 12197.76 \text{ cm}^{3} \text{ valeur arrondie au centième}
\end{align*}\]
Exercice 6 (Amérique du sud novembre 2014)
1) Etant donné qu'ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, le triangle FNM est rectangle en F. Le calcul de l'aire du triangle FNM donne :\[\begin{align*} A_{FNM}&=\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\\ &=\frac{FN \times FM}{2}\\ &=\frac{4 \times 3}{2}\\ &=6 \text{ cm}^{2}
\end{align*}\]
2) Calcul du volume de la pyramide BFNM :
\[\begin{align*} V_{BFNM}&=\frac{\text{Aire de la base FNM} \times \text{ hauteur}}{3}\\ &=\frac{A_{FNM}\times FB}{3}\\ &=\frac{6 \times 5}{3}\\ &=10 \text{ cm}^{3}
\end{align*}\] Le volume de la pyramide BFNM est de 10 cm3.
3)
a) Calcul du volume du
parallélépipède rectangle ABCDEFGH :
\[\begin{align*} V_{ABCDEFGH}&=L \times l \times h \\ &=FE \times FG \times FB\\ &=15 \times 10 \times 5\\ &=750 \text{ cm}^{3}
\end{align*}\] Le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH est de 750 cm3. On en déduit le volume du solide ABCDENMGH :
\[\begin{align*} V_{ABCDENMGH}&=V_{ABCDEFGH}-V_{BFNM} \\ &=750-10\\ &=740 \text{ cm}^{3}
\end{align*}\] Le volume du solide ABCDENMGH est de 740 cm3.
b) Tableau
\[\begin{align*} V_{ABCDEFGH}&=L \times l \times h \\ &=FE \times FG \times FB\\ &=15 \times 10 \times 5\\ &=750 \text{ cm}^{3}
\end{align*}\] Le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH est de 750 cm3. On en déduit le volume du solide ABCDENMGH :
\[\begin{align*} V_{ABCDENMGH}&=V_{ABCDEFGH}-V_{BFNM} \\ &=750-10\\ &=740 \text{ cm}^{3}
\end{align*}\] Le volume du solide ABCDENMGH est de 740 cm3.
b) Tableau
| Parallélépipède ABCDEFGH | Solide ABCDENMGH | |
| Nombre de faces | 6 | 7 |
| Nombre d'arêtes | 12 | 14 |
| Nombre de sommets | 8 | 9 |
| Caractéristique \(x\) | 6 - 12 + 8 = 2 | 7 - 14 + 9 = 2 |
Exercice 7 (Amérique du nord juin 2012)
1) On note V le volume du cylindre et V1 le volume du sablier. Tous les volumes seront exprimés en cm3.a) Calcul du volume du
cylindre :
\[\begin{align*} V&=\pi r^{2}h\\ &=\pi \times AK^{2}\times AO\\ &=\pi \times 1.5^{2}\times 6\\ &=13.5\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ \end{align*}\]
b) Le sablier est composé de deux cônes identiques, donc le volume V1 est égal à deux fois le volume d'un cône.
Calcul du volume V1 :
\[\begin{align*} V_{1}&=2 \times \frac{\text{Aire de la base} \times \text{ hauteur}}{3}\\ &=2 \times \frac{\pi r^{2}h}{3}\\ &=2 \times \frac{\pi\times AK^{2} \times AC}{3}\\ &=2 \times \frac{\pi\times 1.5^{2} \times 3}{3}\\ &=4.5\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ \end{align*}\]
c) Le sablier occupe la fraction du volume suivante :
\[ \frac{V_{1}}{V}=\frac{4.5}{13.5}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3} \] Le volume du sablier occupe un tiers de celui du cylindre.
\[\begin{align*} V&=\pi r^{2}h\\ &=\pi \times AK^{2}\times AO\\ &=\pi \times 1.5^{2}\times 6\\ &=13.5\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ \end{align*}\]
b) Le sablier est composé de deux cônes identiques, donc le volume V1 est égal à deux fois le volume d'un cône.
Calcul du volume V1 :
\[\begin{align*} V_{1}&=2 \times \frac{\text{Aire de la base} \times \text{ hauteur}}{3}\\ &=2 \times \frac{\pi r^{2}h}{3}\\ &=2 \times \frac{\pi\times AK^{2} \times AC}{3}\\ &=2 \times \frac{\pi\times 1.5^{2} \times 3}{3}\\ &=4.5\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ \end{align*}\]
c) Le sablier occupe la fraction du volume suivante :
\[ \frac{V_{1}}{V}=\frac{4.5}{13.5}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3} \] Le volume du sablier occupe un tiers de celui du cylindre.
2) Calcul du temps pour que le sable s'écoule d'un cône l'autre :
\[\frac{12}{240} \text{ heure}=0.05 \text{ heure}=0.05 \times 60 \text{ minutes} = 3 \text{ minutes}\] Ce sablier mesure un temps de 3 minutes.
Exercice 8 (Nouvelle-Calédonie décembre 2012)
1) Volume de la boule :\[\begin{align*} V_{boule}&=\frac{4 \times \pi \times R^{3}}{3}\\ &=\frac{4 \times \pi \times 5^{3}}{3}\\ &= \frac{500}{3} \pi \text{ m}^{3} \text{ valeur exacte}\\ & \approx 524 \text{ m}^{3} \text{ valeur arrondie à l'unité}
\end{align*}\] Le volume de la boule est approximativement de 524 m3.
2)
a)
La section de l'aquarium par le plan horizontal est le disque de centre
H et de rayon HR.
b) Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes :
OH = 3m ; RO = 5m ; HR = 4m , où H et R sont les points placés sur le sol comme sur la figure.
Le triangle OHR est-il rectangle ? Justifier.
Dans le triangle OHR, nous avons :
\[\begin{align*} &OH^{2}+{HR}^2=3^{2}+4^{2}=9+16=25\\ &OR^{2}=5^{2}=25
\end{align*}\] Etant donné que nous avons :
\[OH^{2}+{HR}^2=OR^{2}
\] Nous pouvons conclure d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle OHR est rectangle en H.
b) Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes :
OH = 3m ; RO = 5m ; HR = 4m , où H et R sont les points placés sur le sol comme sur la figure.
Le triangle OHR est-il rectangle ? Justifier.
Dans le triangle OHR, nous avons :
\[\begin{align*} &OH^{2}+{HR}^2=3^{2}+4^{2}=9+16=25\\ &OR^{2}=5^{2}=25
\end{align*}\] Etant donné que nous avons :
\[OH^{2}+{HR}^2=OR^{2}
\] Nous pouvons conclure d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle OHR est rectangle en H.
3)
a) Calcul de la longueur
HT :
\[ HT=HO+OT=3+5=8 \] HT mesure 8 mètres.
b) Volume de cette calotte sphérique.
\[\begin{align*} V_{calotte}&=\frac{\pi \times h^{2}}{3}\times (15-h)\\ &=\frac{\pi \times 8^{2}}{3}\times (15-8)\\ &=\frac{448}{3} \pi \text{ m}^{3} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 469.145 \text{ m}^{3} \text{ valeur approchée}\\ &\approx 469 145 \text{ litres}
\end{align*}\] étant donné que : 1 m3 = 1000 litres.
c) Si les pompes injectent 14000 litres en 2 heures, elles injectent 7000 litres par heure. Le temps nécessaire pour remplir l'aquarium est donc égal à :
\[ t=\frac{469000}{7000}=67 \text{ heures}= 2 \text{ jours } 19 \text{ heures}
\] Il faut 2 jours et 19 heures pour remplir l’aquarium.
\[ HT=HO+OT=3+5=8 \] HT mesure 8 mètres.
b) Volume de cette calotte sphérique.
\[\begin{align*} V_{calotte}&=\frac{\pi \times h^{2}}{3}\times (15-h)\\ &=\frac{\pi \times 8^{2}}{3}\times (15-8)\\ &=\frac{448}{3} \pi \text{ m}^{3} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 469.145 \text{ m}^{3} \text{ valeur approchée}\\ &\approx 469 145 \text{ litres}
\end{align*}\] étant donné que : 1 m3 = 1000 litres.
c) Si les pompes injectent 14000 litres en 2 heures, elles injectent 7000 litres par heure. Le temps nécessaire pour remplir l'aquarium est donc égal à :
\[ t=\frac{469000}{7000}=67 \text{ heures}= 2 \text{ jours } 19 \text{ heures}
\] Il faut 2 jours et 19 heures pour remplir l’aquarium.