SYSTEMES D'EQUATIONS Correction des exercices **

Exercice 1

Soit \( x \) le prix d'un pain et \( y \) le prix d'une baguette. Traduisons l'énoncé sous forme d'équations :
« […] deux pains et une baguette. Il paie 3€05. » : \( 2x+y=3.05 \).
« […] un pain et deux baguettes. Elle paie 2€80. » :\( x+2y=2.80 \).
On doit donc résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 2x+y=3.05 \\ x+2y=2.80 \end{cases} \] En haut, la méthode par substitution; en bas la méthode des combinaisons.
\[ \begin{align*} &\begin{cases}2x+y=3.05 \\ x+2y=2.80 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}2x+y=3.05 \\ x=2.80-2y \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}2(2.80-2y)+y=3.05 \\ x=2.80-2y \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}5.60-4y+y=3.05 \\ x=2.80-2y \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}5.60-3y=3.05 \\ x=2.80-2y \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}3y=5.60-3.05 \\ x=2.80-2y \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}3y=2.55 \\ x=2.80-2y \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}y=0.85 \\ x=2.80-2\times 0.85 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}y=0.85 \\ x=1.10 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=1.10 \\ y=0.85 \end{cases} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} &\begin{cases}2x+y=3.05 \qquad (\times 2) \\ x+2y=2.80 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}4x+2y=6.10 \qquad (L_{1}-L_{2}) \\ x+2y=2.80 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}4x-x=6.10-2.80 \\ x+2y=2.80 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}3x=3.30 \\ x+2y=2.80 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=1.10 \\ 1.10+2y=2.80 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=1.10 \\ 2y=1.70 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=1.10 \\ 2y=1.70 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=1.10 \\ y=0.85 \end{cases} \end{align*} \]
Ce système admet un unique couple solution : \((1.10 ; 0.85)\). Un pain coûte 1€10 et une baguette coûte 0€85.

Exercice 2

Soit \( x\) le nombre de bouteilles qui ont coûté 1€25 et \( y\) le nombre de bouteilles qui ont coûté 1€50.
On peut trouver une première équation concernant le nombre de bouteilles :
\( x+y=23\) … et une autre équation concernant le prix :
\( 1.25x+1.50y=30.25\)
On doit donc résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x+y=23 \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases} \] En haut, la méthode par substitution ; en bas la méthode des combinaisons.
\[ \begin{align*} &\begin{cases}x+y=23 \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-y \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-y \\ 1.25(23-y)+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-y \\ 28.75-1.25y+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-y \\ 28.75+0.25y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-y \\ 0.25y=30.25-28.75 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-y \\ 0.25y=1.5 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-y \\ y=\frac{1.5}{0.25} \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=23-6 \\ y=6 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=17 \\ y=6 \end{cases} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} &\begin{cases}x+y=23 \qquad (\times 1.5) \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}1.5x+1.5y=34.5 \qquad (L_{1}-L_{2}) \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}1.5x-1.25x=34.5-30.25 \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}0.25x=4.25 \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=\frac{4.25}{0.25} \\ 1.25x+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=17 \\ 1.25\times 17+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=17 \\ 21.25+1.5y=30.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=17 \\ 1.5y=30.25-21.25 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=17 \\ 1.5y=9 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=17 \\ y=6 \end{cases} \end{align*} \] Ce système admet un unique couple solution : \((17 ; 6)\). Maxime a acheté 17 bouteilles à 1€25 et 6 bouteilles à 1€50.

Exercice 3

Soit \( x \) le nombre de trèfles à trois feuilles et \( y \) celui à quatre feuilles. On peut trouver une première équation concernant le nombre de trèfles :
\( x+y=71 \)
… et une autre équation concernant le nombre de feuilles :
\( 3x+4y=239 \)
On doit donc résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x+y=71 \\ 3x+4y=239 \end{cases} \] En haut, la méthode par substitution ; à droite la méthode des combinaisons.
\[ \begin{align*} &\begin{cases}x+y=71 \\ 3x+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=71-y \\ 3(71-y)+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=71-y \\ 213-3y+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=71-y \\ 213+y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=71-y \\ y=239-213 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=71-26 \\ y=26 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=45 \\ y=26 \end{cases} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} &\begin{cases}x+y=71 \qquad (\times 4) \\ 3x+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}4x+4y=284 \qquad (L_{1}-L_{2}) \\ 3x+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=284-239 \\ 3x+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=45 \\ 3\times 45+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=45 \\ 135+4y=239 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=45 \\ 4y=104 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow & \begin{cases}x=45 \\ y=26 \end{cases} \end{align*} \] Ce système admet un unique couple solution : \((45 ; 26)\). Françoise a cueilli 45 trèfles à trois feuilles et 26 trèfles à quatre feuilles.

Exercice 4

Soit \( x \) et \( y \) deux nombres. Traduisons l’énoncé sous forme d’équations :
« La somme de deux nombres est égale à 159. » : \( x+y=159 \)
« La différence de leur carrés est égale à 2067. » :\( x^{2}-y^{2}=2067 \)
On doit donc résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x+y=159 \\ x^{2}-y^{2}=2067 \end{cases} \] Factorisons le membre de gauche de la deuxième équation en utilisant les identités remarquables :
\[ \begin{cases} x+y=159 \\ (x+y)(x-y)=2067 \end{cases} \] … puis remplaçons \( x+y \) dans la deuxième équation par 159.
\[ \begin{align*} \Longleftrightarrow &\begin{cases}x+y=159 \\ 159(x-y)=2067 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x+y=159 \\ x-y=\frac{2067}{159} \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x+y=159 \\ x-y=13 \end{cases} \end{align*} \] Résolvons ce système : en haut, la méthode par substitution ; en bas la méthode des combinaisons.
\[ \begin{align*} &\begin{cases}x+y=159 \\ x-y=13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x+y=159 \\ y=x-13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x+x-13=159 \\ y=x-13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}2x-13=159 \\ y=x-13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}2x=159+13 \\ y=x-13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}2x=172 \\ y=x-13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x=86 \\ y=86-13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x=86 \\ y=73 \end{cases} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} &\begin{cases}x+y=159 \qquad (L_{1}+L_{2}) \\ x-y=13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}2x=159+13 \\ x-y=13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}2x=172 \\ x-y=13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x=86 \\ y=86-13 \end{cases}\\ \Longleftrightarrow &\begin{cases}x=86 \\ y=73 \end{cases} \end{align*} \]
Ce système admet un unique couple solution : \((86 ; 73)\). Les deux nombres recherchés sont 86 et 73.

Correction des exercices d'application sur les systèmes d'équations à deux inconnues pour la troisième (3ème)
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