RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Sujet des exercices **

Exercice 1

Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N^{*}}\), nous avons : \[ \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

Exercice 2

Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N^{*}}\), nous avons : \[ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}. \]

Exercice 3

Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N^{*}}\), nous avons : \[ \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}. \]

Exercice 4

Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}^{*}\) : \[ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}. \]

Exercice 5

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\in \mathbb{N}^{*}\), nous avons : \[ \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{3}. \] Vous pourrez utiliser le fait que \[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \] démontré précédemment dans les feuilles d'exercices.

Exercice 6

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\in \mathbb{N}^{*}\), nous avons : \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}. \]

Exercice 7

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(4^{n}+15n-1\) est divisible par 9.

Exercice 8

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(5n^{3}+n\) est divisible par 6.

Exercice 9

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(4^{n}-1\) est divisible par 3.

Exercice 10

Considérons la suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{0}=1\) et par \[ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{\sqrt{u_{n}^{2}+1}}. \] 1) Calculer \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
2) Conjecturer l'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
3) Démontrer par récurrence la conjecture de la question précédente.

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