RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Correction des exercices **
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Exercice 1
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\[
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part :
\[
\sum_{k=1}^{1}k^{2}=1,
\]
et d'autre part :
\[
\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1.
\]
Comme \(\sum_{k=1}^{1}k^{2}=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}\), \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :
\[
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\]
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}&=\sum_{k=1}^{n}k^{2}+(n+1)^{2}\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=(n+1)\left(\frac{n(2n+1)}{6}+(n+1)\right) \\
&=(n+1)\left(\frac{n(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)}{6}\right) \\
&=(n+1)\frac{2n^{2}+n+6n+6}{6} \\
&=(n+1)\frac{2n^{2}+7n+6}{6}
\end{align*}
\]
Nous allons chercher à factoriser le polynôme de degré 2 au numérateur.
Pour cela, trouvons les racines du polynôme \(2n^{2}+7n+6\). Le calcul du discriminant donne :
\[
\begin{align*}
\Delta&=7^{2}-4\times 2\times 6 \\
&=49-48\\
&=1
\end{align*}
\]
Ce polynôme admet deux racines :
\[
\begin{align*}
n_{1}&=\frac{-7-\sqrt{1}}{2\times 2}\\
&=\frac{-8}{4}\\
&=-2,
\end{align*}
\]
et
\[
\begin{align*}
n_{2}&=\frac{-7+\sqrt{1}}{2\times 2}\\
&=\frac{-6}{4}\\
&=-\frac{3}{2}.
\end{align*}
\]
Nous pouvons alors factoriser le polynôme \(2n^{2}+7n+6\) de la façon suivante (cf cours de Première) :
\[
\begin{align*}
2n^{2}+7n+6&=2\left(n-(-2)\right)\left(n-\left(-\frac{3}{2}\right)\right) \\
&=2(n+2)\left(n+\frac{3}{2}\right)\\
&=(n+2)(2n+3)
\end{align*}
\]
En reprenant notre calcul :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}&=(n+1)\frac{2n^{2}+7n+6}{6}\\
&=(n+1)\frac{(n+2)(2n+3)}{6}\\
&=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\
&=\frac{(n+1)\left((n+1)+1\right)(2(n+1)+1)}{6},
\end{align*}
\]
donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \forall n\in\mathbb{N^{*}}}.
\]
Exercice 2
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\[
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.
\]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part :
\[
\sum_{k=1}^{1}(2k-1)^{2}=(2-1)^{2}=1,
\]
et d'autre part :
\[
\frac{1(2-1)(2+1)}{3}=\frac{3}{3}=1,
\]
donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :
\[
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.
\]
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{2}&=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}+\left(2(n+1)-1\right)^{2}\\
&=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2n+1)^{2}\\
&\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=(2n+1)\left(\frac{n(2n-1)}{3}+2n+1\right) \\
&=(2n+1)\left(\frac{n(2n-1)}{3}+\frac{6n+3}{3}\right) \\
&=(2n+1)\left(\frac{2n^{2}-n+6n+3}{3}\right)\\
&=(2n+1)\left(\frac{2n^{2}+5n+3}{3}\right)
\end{align*}
\]
Nous allons chercher à factoriser le polynôme de degré 2 au numérateur.
Pour cela, trouvons les racines du polynôme \(2n^{2}+5n+3\). Le calcul du discriminant donne :
\[
\begin{align*}
\Delta&=5^{2}-4\times 2\times 3 \\
&=25-24\\
&=1
\end{align*}
\]
Ce polynôme admet deux racines :
\[
\begin{align*}
n_{1}&=\frac{-5-\sqrt{1}}{2\times 2}\\
&=\frac{-6}{4}\\
&=\frac{-3}{2},
\end{align*}
\]
et
\[
\begin{align*}
n_{2}&=\frac{-5+\sqrt{1}}{2\times 2}\\
&=\frac{-4}{4}\\
&=-1.
\end{align*}
\]
Nous pouvons alors factoriser le polynôme \(2n^{2}+5n+3\) de la façon suivante (cf cours de Première) :
\[
\begin{align*}
2n^{2}+5n+3&=2\left(n-(-1)\right)\left(n-\left(-\frac{3}{2}\right)\right) \\
&=2(n+1)\left(n+\frac{3}{2}\right)\\
&=(n+1)(2n+3)
\end{align*}
\]
En reprenant notre calcul :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{2}&=(2n+1)\left(\frac{2n^{2}+5n+3}{3}\right) \\
&=(2n+1)\frac{(n+1)(2n+3)}{3} \\
&=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} \\
&=\frac{(n+1)\left(2(n+1)-1\right)\left(2(n+1)+1\right)}{3},
\end{align*}
\]
donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}, \quad \forall n\in\mathbb{N^{*}}}.
\]
Exercice 3
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\[
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.
\]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part :
\[
\sum_{k=1}^{1}k^{3}=1^{3}=1,
\]
et d'autre part :
\[
\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=\frac{1^{2}\times 2^{2}}{4}=1.
\]
donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :
\[
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.
\]
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}k^{3}&=\sum_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}\\
&=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}\\
&\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=\frac{(n+1)^{2}}{4}\left(n^{2}+4(n+1)\right)\\
&=\frac{(n+1)^{2}}{4}\left(n^{2}+4n+4\right)
\end{align*}
\]
Nous pouvons directement factoriser ce polynome de degré 2 car nous reconnaissons une identité remarquable du type \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\), avec \(a=n\) et \(b=2\) :
\[
n^{2}+4n+4=\left(n+2\right)^{2}.
\]
En reprenant notre calcul :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{2}&=\frac{(n+1)^{2}}{4}\left(n^{2}+4n+4\right) \\
&=\frac{(n+1)^{2}}{4}\left(n+2\right)^{2} \\
&=\frac{(n+1)^{2}\left((n+1)+1\right)^{2}}{4},
\end{align*}
\]
donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}, \quad \forall n\in\mathbb{N^{*}}}.
\]
Exercice 4
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\[
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}.
\]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part
\[
\sum_{k=1}^{1}(-1)^{k}k=(-1)^{1}\times 1=-1,
\]
et d'autre part
\[
\frac{(-1)^{1}(2\times 1+1)-1}{4}=\frac{-3-1}{4}=-1,
\]
donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :
\[
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}.
\]
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k}k&=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k+(-1)^{n+1}(n+1)\\
&=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}+(-1)^{n+1}(n+1)\\
& \text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=\displaystyle \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{-1}(2n+1)-1}{4}+\frac{4(-1)^{n+1}(n+1)}{4}\\
&=\frac{-(-1)^{n+1}(2n+1)-1}{4}+\frac{4(-1)^{n+1}(n+1)}{4}\\
&=\frac{-(-1)^{n+1}(2n+1)-1}{4}+\frac{(-1)^{n+1}(4n+4)}{4}\\
&=\frac{(-1)^{n+1}\left(4n+4-(2n+1)\right)-1}{4}\\
&=\frac{(-1)^{n+1}\left(4n+4-2n-1\right)-1}{4}\\
&=\frac{(-1)^{n+1}\left(2n+3\right)-1}{4}\\
&=\frac{(-1)^{n+1}\left(2(n+1)+1\right)-1}{4},\\
\end{align*}
\]
donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}, \quad \forall n\in \mathbb{N}^{*}}.
\]
Exercice 5
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\[
\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{3}.
\]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part :
\[
\left(\sum_{k=1}^{1}k\right)^{2}=1^{2}=1,
\]
et d'autre part :
\[
\sum_{k=1}^{1}k^{3}= 1^{3}=1,
\]
donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :
\[
\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{3}.
\]
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
\left(\sum_{k=1}^{n+1}k\right)^{2}&=\left(\sum_{k=1}^{n}k+(n+1)\right)^{2} \\
&=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2}+2\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)(n+1)+(n+1)^{2}\\
&=\sum_{k=1}^{n}k^{3}+2\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)(n+1)+(n+1)^{2}\\
&\qquad \text{ (par hypothèse de récurrence)} \\
&=\sum_{k=1}^{n}k^{3}+2\frac{n(n+1)}{2}(n+1)+(n+1)^{2}\\
& \qquad \text{ (en utilisant le résultat de l'énoncé)} \\
&=\sum_{k=1}^{n}k^{3}+n(n+1)^{2}+(n+1)^{2}\\
&=\sum_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{2}(n+1)\\
&=\sum_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}\\
&=\sum_{k=1}^{n+1}k^{3},
\end{align*}
\]
donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{3}, \quad \forall n\in \mathbb{N}^{*}}.
\]
Exercice 6
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}.
\]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{1}\frac{2}{k(k+1)(k+2)}&=\frac{2}{1\times 2 \times 3}\\
&=\frac{2}{6}\\
&=\frac{1}{3},
\end{align*}
\]
et d'autre part :
\[
\frac{1\times (1+3)}{2\times (1+1)\times (1+2)}= \frac{4}{12}=\frac{1}{3},
\]
donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :
\[
\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}.
\]
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2}{k(k+1)(k+2)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k(k+1)(k+2)}+\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&=\frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}+\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&\qquad \text{ (par hypothèse de récurrence)} \\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{n(n+3)}{2}+\frac{2}{n+3}\right)\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{n(n+3)(n+3)+2\times 2}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{n(n+3)^{2}+4}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{n\left((n+1)+2\right)^{2}+4}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{n\left((n+1)^2+2(n+1)+4\right)+4}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{n(n+1)^2+2n(n+1)+4n+4}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{n(n+1)^2+2n(n+1)+4(n+1)}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{(n+1)\left(n(n+1)+2n+4\right)}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+2)}\left(\frac{n(n+1)+2n+4}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+2)}\left(\frac{n^{2}+3n+4}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{1}{(n+2)}\left(\frac{(n+1)(n+4)}{2(n+3)}\right)\\
&=\frac{(n+1)(n+4)}{2(n+2)(n+3)},
\end{align*}
\]
donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}, \quad \forall n\in \mathbb{N}^{*}}.
\]
Exercice 7
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : "\(4^{n}+15n-1\) est divisible par 9".
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
4^{0}+15\times 0-1&=1+0-1\\
&=0.
\end{align*}
\]
Etant donné que 0 est divisible par 9, alors \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :"\(4^{n}+15n-1\) est divisible par 9", ce qui signifie qu'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(4^{n}+15n-1=9k\).
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
4^{n+1}+15(n+1)-1&= 4\times 4^{n}+15n+14\\
&=4\times \left(4^{n}+15n-1\right)-45n+18 \\
&=4\times 9k-45n+18\\
&\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=9\left(4k-5n+2\right).
\end{align*}
\]
Comme \(4k-5n+2\in \mathbb{Z}\) (c'est une somme d'entiers), alors \(9\) divise également \(4^{n+1}+15(n+1)-1\), et la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{4^{n}+15n-1\text{ est divisible par } 9, \quad \forall n\in \mathbb{N}.}
\]
Exercice 8
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : "\(5n^{3}+n\) est divisible par 6".
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons :
\[
5\times 0^{3}+0=0
\]
Etant donné que 0 est divisible par 6, alors \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : "\(5n^{3}+n\) est divisible par 6", ce qui signifie qu'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(5n^{3}+n=6k\).
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
\[
\begin{align*}
5(n+1)^{3}+(n+1)&=5\left(n^{3}+3n^{2}+3n+1\right)+n+1 \\
&\text{ (en utilisant la formule du binôme de Newton)}\\
&=5n^{3}+15n^{2}+15n+5+n+1 \\
&=\left(5n^{3}+n\right)+15n^{2}+15n+6 \\
&=6k+15n^{2}+15n+6 \\
&\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=6k+15n(n+1)+6 \\
\end{align*}
\]
\(n(n+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, l'un étant nécessairement pair et l'autre impair. Donc il est divisible par 2, et il existe un entier naturel \(p\) tel que \(n(n+1)=2p\).
Par conséquent :
\[
\begin{align*}
5(n+1)^{3}+(n+1)&=6k+15n(n+1)+6 \\
&=6k+15\times 2p+6 \\
&=6k+30p+6 \\
&=6\times (k+5p+1).
\end{align*}
\]
Etant donné que \(k+5p+1\) est un entier naturel (car c'est la somme d'entiers naturels), on en déduit que \(6\) divise également \(5(n+1)^{3}+(n+1)\), et donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{5n^{3}+n\text{ est divisible par } 6, \quad \forall n\in \mathbb{N}.}
\]
Exercice 9
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : "\(4^{n}-1\) est divisible par 3".
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons :
\[
4^{0}-1=1-1=0
\]
Etant donné que 0 est divisible par 3, alors \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : "\(4^{n}-1\) est divisible par 3", ce qui signifie qu'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(4^{n}-1=3k\).
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
\[
\begin{align*}
4^{n+1}-1&=4\times 4^{n}-1\\
&=3\times 4^{n}+4^{n}-1\\
&=3\times 4^{n}+\left(4^{n}-1\right)\\
&=3\times 4^{n}+3k\\
&\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=3\times \left(4^{n}+k\right)
\end{align*}
\]
Etant donné que \(4^{n}+k\) est un entier naturel (car c'est la somme d'entiers naturels), on en déduit que \(3\) divise également \(4^{n+1}-1\), et la propriété est aussi vraie à l'ordre \(n+1\).
Conclusion :
\[
\boxed{4^{n}-1\text{ est divisible par } 3, \quad \forall n\in \mathbb{N}.}
\]
Exercice 10
1) Calcul de \(u_{1}\) :
\[
\begin{align*}
u_{1}&=\frac{u_{0}}{\sqrt{u_{0}^{2}+1}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}
\]
Calcul de \(u_{2}\) :
\[
\begin{align*}
u_{2}&=\frac{u_{1}}{\sqrt{u_{1}^{2}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{align*}
\]
Calcul de \(u_{3}\) :
\[
\begin{align*}
u_{3}&=\frac{u_{2}}{\sqrt{u_{2}^{2}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{4}{3}}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{4}}
\end{align*}
\]
(Bien sûr, \(\sqrt{4}=2\), mais cela n'est pas utile ici car nous voulons conjecturer l'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).)
2) Nous pouvons conjecturer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) :
\[
u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
\]
3) Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété :
\[
u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
\]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
u_{0}&=\frac{1}{\sqrt{0+1}}\\
&=\frac{1}{1}\\
&=1,
\end{align*}
\]
donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie :
\[
u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
\]
Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons :
\[
\begin{align*}
u_{n+1}&=\frac{u_{n}}{\sqrt{u_{n}^{2}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)^{2}+1}}\\
&\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\frac{1}{n+1}+1}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}}\\
&=\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{n+2}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{\left(n+1\right)+1}},
\end{align*}
\]
donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.
Conclusion :
\[
\boxed{u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}, \quad \forall n \in \mathbb{N}}.
\]
Raisonnement par récurrence : correction des exercices d'application pour la terminale
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