PONDICHERY AVRIL 2016 Correction du brevet

Exercice 1 (3 points)

Calcul de la distance parcourue entre la sortie 11 et la sortie 3 :
\[16+16+6+13=51\] Elle va parcourir 51 km entre la sortie 11 et la sortie 3.
Sachant qu'elle s'engage à 16h33 sur l'autoroute et qu'il faut qu'elle soit arrivée avant 17h, elle doit arriver avant 16h57 à la barrière de péage n°3, puisqu'il y a 3 minutes entre la barrière de péage et son lieu de rendez-vous. Ce qui lui laisse 24 minutes pour effectuer un trajet de 51 km.
Transformons 24 minutes en heure :
\[24\text{ min}=\frac{24}{60}\text{ h}=0.4\text{ h}\] Calcul de la vitesse moyenne sur l'autoroute pour arriver à l'heure exacte :
\[ \begin{align*} v&=\frac{d}{t}\\ &=\frac{51}{0.4}\\ &=127.5\text{ km/h} \end{align*} \] Elle devra rouler à 127.5 km/h pour arriver à l'heure à son rendez-vous.

Exercice 2 (4 points)

1) Ce sont toutes les exploitations dont la taille est supérieure à 100 hectares qui ont vu leur nombre augmenter entre 2000 et 2010.

2) Pour obtenir le nombre total d’exploitations agricoles en 2000, on doit taper dans B8 l'une des deux formules ci-dessous :
=SOMME(B3:B7)
=B3+B4+B5+B6+B7

3) Cela va afficher le nombre total d'exploitations agricoles en 2010 en C8. Le résultat qui s'affiche est :
\[235+88+98+73+21=515\]

4) En passant de 15 à 21, le nombre d'exploitations agricoles de plus de 200 hectares a augmenté de :
\[\frac{21-15}{15}=\frac{6}{15}=0.4=40\%\] Oui, on peut dire qu'entre 2000 et 2010 le nombre d'exploitations de plus de 200 ha a augmenté de 40 %.

Exercice 3 (6 points)

1) Nombre de bonbons au chocolat qu'il doit fabriquer :
\[10\times 50=500\] Nombre de bonbons au caramel qu'il doit fabriquer :
\[8\times 50=400\] Il doit fabriquer 500 bonbons au chocolat et 400 bonbons au caramel.

2) Chaque boite contient 10 + 8 = 18 bonbons.
La probabilité qu'il obtienne un bonbon au chocolat est égale à :
\[\frac{10}{18}\approx 0.56\] La probabilité qu'il obtienne un bonbon au chocolat est de 0.56.

3) Même si au premier tirage il obtient un bonbon au chocolat, il restera toujours plus de bonbons au chocolat qu'au caramel avant le deuxième tirage. Donc il est plus probable que Jim tire la deuxième fois un bonbon au chocolat qu'un bonbon au caramel.

4)

Exercice 4 (6 points)

1) Calcul de la longueur du parcours :
\[AB+BC+CD+DE+EF\] Or nous ne connaissons pas BC, CD et DE.
Calcul de la longueur BC :
ABCH est un rectangle donc le triangle ABC est rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore, nous avons :
\[ \begin{align*} &AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\\ &BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}\\ &BC^{2}=7.5^{2}-6^{2}\\ &BC^{2}=56.25-36\\ &BC^{2}=20.25\\ &BC=\sqrt{20.25}\\ &BC=4.5 \end{align*} \] BC mesure 4.5 km.

Calcul de la longueur CD :
On sait que ABGF est un rectangle donc BG = AF = 12.5 km.
On en déduit la longueur CD :
\[ \begin{align*} CD&=BG-(BC+DG)\\ &=12.5-(4.5+7)\\ &=1\\ \end{align*} \] CD mesure 1 km.

Calcul de la longueur DE :
ABGF étant un rectangle, nous avons AB = GF = 6 km.
Nous pouvons en déduire GE :
GE = GF - EF = 6 - 0.75 = 5.25
Dans le triangle CGF, les droites (DE) et (CF) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès :
\[\frac{GD}{GC}=\frac{5.25}{6}=\frac{DE}{10}\] Calcul de la longueur DE :
\[ \begin{align*} &\frac{5.25}{6}=\frac{DE}{10}\\ &DE=\frac{5.25}{6}\times 10\\ &DE=8.75 \end{align*} \] DE mesure 8.75 km.

On a toutes les longueurs pour calculer le parcours :
\[6+4.5+1+8.75+0.75=21\] Ce parcours mesure 21 km.

2) Consommation totale de carburant :
\[21\times 1.1=23.1\] L'hélicoptère va consommer 23.1 litres. 20 litres ne seront donc pas suffisants, il ne faut pas écouter l'inspecteur

Exercice 5 (5 points)

1) Développons l'expression suivante :
\[\begin{align*} (-5t-1.35)(t-3.7)&=-5t^{2}+18.5t-1.35t+4.995\\ &=-5t^{2}+17.15t+4.995 \end{align*}\] La proposition est donc fausse.

2) Gaëtan quitte la rampe en \(t=0\). Comme \(h(0)=4.995\), il se situe à 4.995 mètres de haut et non 3.8. La proposition est donc fausse.

3) Sur le graphique, la durée du saut est comprise entre 3.5 et 4 secondes (sur l'axe des abscisses). La proposition est donc vraie.

4) Calcul de l'image de 3.5 :
\[ \begin{align*} h(3.5)&=(-5\times 3.5-1.35)\times (3.5-3.7)\\ &=-18.85\times \left(-0.2\right)\\ &=3.77 \end{align*} \]
3.77 est l'image de 3.5 donc 3.5 est bien un antécédent de 3.77. La proposition est vraie.

5) Graphiquement, la hauteur maximale est atteinte entre 1.5 et 2 secondes. La proposition est donc fausse.

Exercice 6 (4 points)

1) Première étiquette
Montant de la remise :
\(120-105=15\)
Calcul du pourcentage de remise :
\(\displaystyle \frac{15}{120}=0.125=12.5\%\)
Deuxième étiquette
30% de remise
Troisième étiquette
Calcul du pourcentage de remise :
\(\displaystyle \frac{12.5}{25}=0.5=50\%\)
Le plus fort pourcentage de remise est sur l'étiquette 3 (50% au lieu de 12.5% pour l'étiquette 1 et 30% pour l'étiquette 2).

2) Première étiquette
Remise de 15€ (120-105)
Deuxième étiquette
Calcul de la remise :
\(\displaystyle 45\times \frac{30}{100}=13.5=13€ 50\)
Troisième étiquette
Remise de 12€50
La plus forte remise en euros est sur l'étiquette 1 (15€ au lieu de 13€50 sur l'étiquette 2 et 12€50 sur l'étiquette 3).
La plus forte remise en euros n'est donc pas la plus forte en pourcentage.

Exercice 7 (3 points)

Questions	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. \((2x-3)^{2}=\ldots\)	\(4x^{2}+12x-9\)	\(4x^{2}-12x+9\)	\(4x^{2}-9\)
2. L'équation \((x+1)(2x-5)=0\) a pour solutions	1 et 2.5	-1 et -2.5	-1 et 2.5
3. Si \(a>0\) alors \(\sqrt{a}+\sqrt{a}\)	\(a\)	\(2\sqrt{a}\)	\(\sqrt{2a}\)

1) Réponse B
\((2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9\)

2) Réponse C
Ce produit est nul si un des deux facteurs est nul. On a donc :
\[\begin{align*} &x-1=0\qquad \qquad &2x-5=0\\ &x=1 &2x=5\\ &x=1 &x=\frac{5}{2}=2.5 \end{align*}\]
3) Réponse B
\[\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\]

Exercice 8 (5 points)

Information 1 : Volume du prisme = aire de la base x hauteur                                                                1L = 1dm3

Information 2 : Voici la reproduction d’une étiquette figurant au dos d’un sac de ciment de 35 kg. Dosage pour un sac de Volume de béton obtenu Sable Gravillons Eau Mortier courant 105 L x 10 16 L Ouvrages en béton courant 100 L x 5 x 8 17 L Montage de murs 120 L x 12 18 L Dosages donnés à titre indicatif et pouvant varier suivant les matériaux régionaux et le taux d’hygrométrie des granulats

1) L'aire de la base de chaque prisme est l'aire d'un triangle
Volume du petit prisme (noté V₁) :
\[\begin{align*} V_{1}&=\text{Aire de la base}\times \text{ hauteur}\\ &=\frac{1.36\times 1.28}{2}\times 0.2\\ &=0.17408 \text{ m}^{3} \end{align*}\] Volume du grand prisme (noté V₂) :
\[ \begin{align*} V_{2}&=\text{Aire de la base}\times \text{ hauteur}\\ &=\frac{3.40\times 3.20}{2}\times 0.2\\ &=1.088 \text{ m}^{3} \end{align*}\] Volume total de l'escalier :
\[\begin{align*} V&=V_{1}+V_{2}\\ &=0.17408+1.088\\ &=1.26208 \text{ m}^{3} \end{align*}\] Le volume de l’escalier est égal à 1,26208 m³.

2) Etant donné que 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L, le volume de béton nécessaire pour réaliser cet escalier est de :
\[1000\times 1.26208=1262.08 \text{ litres}\] Etant donné que chaque sac donne 100 litres de béton, le nombre de sacs de ciment nécessaire est égal à :
\[\frac{1262.08}{100}= 12.6208\Rightarrow 13\] Il faudra 13 sacs de ciment pour pouvoir réaliser cet escalier.

3) Pour obtenir 100 litres de béton, il faut utiliser 17 litres d'eau.
Quantité d'eau nécessaire :
\[12.6208\times 17=214.5536\text{ litres}\] Il faudra utiliser environ 215 litres d'eau pour réaliser cet ouvrage.

Correction du brevet de mathématiques Pondichéry 26 avril 2016 (3ème)
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