PGCD
Correction des exercices ***
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Exercice 1 (Amérique du Nord juin 2009)
1) Pour
déterminer le PGCD de 186 et 155, on
utilise l’algorithme d’Euclide :
186
= 155 × 1 + 31
155
= 31 × 5 + 0
Le
PGCD de
186 et 155 est le dernier reste non nul, soit 31.
PGCD
(186 ; 155) = 31
2)
a) Le
nombre de pralines est identique dans chaque
colis donc ce nombre est un diviseur de 186. Le nombre de chocolats est
identique dans chaque colis donc ce nombre est un diviseur de 155. Le
nombre de
colis est donc un diviseur de 186 et de 155. Si le nombre de colis est
maximal,
alors ce diviseur est le PGCD de 186 et de 155.
PGCD
(186 ; 155) = 31
Il
pourra réaliser au maximum 31 colis.
b) Nombre
de pralines dans chaque colis :
\( \displaystyle \frac{186}{31}=6\)
Nombre
de chocolats dans chaque colis :
\( \displaystyle \frac{155}{31}=5\)
Il
y aura 6 pralines et 5 chocolats dans chaque
colis.
Exercice 2 (Pondichéry avril 2009)
1) Calcul du PGCD de 238 et 170 en utilisant l’algorithme d’Euclide
238 = 1 × 170 + 68
170 = 2 × 68 + 34
68 = 2 × 34 + 0
Le PGCD de 238 et 170 est le dernier reste non nul, soit 34.
2) On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD de 238 et 170.
Simplification :
\( \displaystyle \frac{70}{238}=\frac{34\times 5}{34\times 7}=\frac{5}{7}\)
Exercice 3 (Afrique juin 2006)
1) 648 et 972 sont pairs ; par conséquent ils sont au moins
divisibles
par 2 donc 648 et 972 ne sont pas premiers entre eux.
2)
a) Calcul du PGCD de 648
et 972 à l’aide de l’algorithme d’Euclide :
972 = 648 × 1 + 324
648 = 324 × 2 + 0
Le PGCD de 648 et 972 est le dernier reste non nul, soit 324.
On divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par le PGCD
de
ces deux nombres :
\( \displaystyle \frac{648}{972}=\frac{648\div 324}{972\div 324}=\frac{2}{3}\)
b) Prouvons que \(\sqrt{648}+\sqrt{972}=18(\sqrt{3}+\sqrt{2})\) :
\[
\begin{align*}
\sqrt{648}+\sqrt{972}&=\sqrt{324\times 2}+\sqrt{324\times 3}\\
&=\sqrt{324}\times \sqrt{2}+\sqrt{324}\times \sqrt{3} \\
&=18\sqrt{2}+18\sqrt{3}\\
&=18(\sqrt{2}+\sqrt{3})
\end{align*}
\]
Exercice 4 (Nouvelle Calédonie mars 2005)
1) Calcul du PGCD de 63 et 105 à l’aide de
l’algorithme d’Euclide :
105 = 1 × 63 + 42
63 = 1 × 42 + 21
42 = 2 × 21 + 0
Le PGCD de 63 et 105 est le dernier reste non
nul, soit 21. On a \(d=21\).
\(63=a\times d \qquad \qquad \qquad \; \, 105=b\times d\)
\(63 = 3 × 21 \qquad \qquad \qquad 105 = 5 × 21\)
On a donc \(a=3\) et \(b=5\).
2) Simplification
\( \displaystyle \frac{63}{105}=\frac{a\times d}{b\times d}=\frac{a}{b}=\frac{3}{5}\)
Exercice 5 (France sud juin 2005)
1) Calcul du PGCD de 6209 et 4435 à l’aide de l’algorithme
d’Euclide :
6209 = 4435 × 1 + 1774
4435 = 1774 × 2 + 887
1774 = 887 × 2 + 0
Le PGCD de 6209 et 4435 est le dernier reste non nul, soit 887.
2) Etant donné que le PGCD du numérateur et du dénominateur est
différent
de 1 (il est égal à 887), cela signifie que ces deux nombres ne sont
pas
premiers entre eux et que par conséquent cette fraction n’est pas
irréductible.
3) On divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le
PGCD
de ces deux nombres, soit 887.
\( \displaystyle \frac{4435}{6209}=\frac{4435\div 887}{6209\div 887}=\frac{5}{7}\)
Exercice 6 (France nord juin 2006)
1) D’après l’énoncé, on sait que chacun doit avoir
le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons donc le nombre
de
personnes qui pourront bénéficier de ces friandises doit être un
diviseur
commun de 84 et 147. De plus, le nombre de personnes doit être maximal
donc ce
dernier sera égal au PGCD de 84 et 147.
Calculons-le à l’aide de l’algorithme
d’Euclide :
147 = 84 × 1 + 63
84 = 63 × 1 + 21
63 = 21 × 3 + 0
Le PGCD de 147 et 84 est le dernier reste non
nul, soit 21.
21 personnes (dont Pierre) pourront bénéficier
de ces friandises.
2) Nombre de sucettes pour chaque personne :
\( \displaystyle \frac{84}{21}=4\)
Nombre de bonbons pour chaque personne :
\( \displaystyle \frac{147}{21}=7\)
Chaque personne aura 4 sucettes et 7 bonbons.
Exercice 7 (Amérique du Nord mai 2007)
1) Calcul du montant de la remise :
\( \displaystyle 120.40\times \frac{20}{100}=24.08\)
Montant de la facture après remise :
120,40 – 24,08 = 96,32 euros.
La facture s’élève à 96,32 euros après remise.
2)
a) Les sachets sont
identiques donc le nombre de sachets est à la
fois un diviseur du nombre de chocolats et
du nombre de caramels. Le nombre maximal de sachets identiques
correspond donc
au PGCD du nombre de chocolats et du nombre de caramels.
Déterminons le PGCD de 301 et 172 à l’aide de l’algorithme
d’Euclide :
301 = 172 × 1 + 129
172 = 129 × 1 + 43
129 = 43 × 3 + 0
Le PGCD de 301 et 172 est le dernier reste non nul, soit 43.
Le confiseur pourra réaliser au maximum 43 sachets identiques.
b) Il y a 43 sachets identiques.
Nombre de caramels dans un sachet :
\( \displaystyle \frac{301}{43}=7\)
Nombre de chocolats dans un sachet :
\( \displaystyle \frac{172}{43}=4\)
Il y aura dans chaque sachet 7 caramels et 4
chocolats.
Exercice 8 (Asie juin 2007)
1) Déterminons le PGCD de 252 et 144 par l’algorithme d’Euclide.
252 = 1 × 144 + 108
144 = 1 × 108 + 36
108 = 3 × 36 + 0
Le PGCD de 252 et 144 est le dernier reste non nul, soit 36.
2)
a) Le nombre maximum
d’équipes que cette association peut former correspond
au plus grand diviseur commun du nombre de garçons et du nombre de
filles, c'est-à-dire
au PGCD de 252 et 144. Or d’après la première question, ce PGCD est de
36 donc
on peut former au maximum 36 équipes.
b) Nombre de filles dans l’équipe :
\( \displaystyle \frac{144}{36}=4\)
Nombre de garçons dans l’équipe
\( \displaystyle \frac{252}{36}=7\)
Dans chaque équipe, il y aura 4 filles et 7 garçons.