IDENTITES REMARQUABLES
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Exercice 1 (Extrait brevet centres étrangers juin 2011)
On donne \(A=(x-3)^{2}+(x-3)(1-2x)\).1) Développer et réduire A.
2) Prouver que l'expression factorisée de A est \(A=(x-3)(-x-2)\).
Exercice 2 (Centres étrangers II juin 2009)
Anatole affirme : " Pour tout nombre entier naturel \(n\), l'expression \(n^{2}-24n+144\) est toujours différente de zéro.A-t-il raison ?"
Exercice 3 (extraits du brevet Amérique du Nord 2008)
On pose : \(D=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)^{2}\).1) Développer et réduire D.
2) Factoriser D.
3) Calculer D pour \(x=2\) et \(x=-1\).
Exercice 4 (Centres étrangers juin 2012)
On considère les programmes de calcul suivants :PROGRAMME A :
-
- Choisir un nombre de départ.
- Lui ajouter 1.
- Calculer le carré de la somme obtenue.
- Soustraire au résultat le carré du nombre de départ.
-
- Choisir un nombre de départ.
- Ajouter 1 au double de ce nombre.
2) Démontrer que quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux.
Exercice 5 (Polynésie septembre 2010)
Sur
la figure dessinée ci-contre, ABCD est un carré et ABEF est un
rectangle.On a \(AB=BC=2x+1\) et \(AF=x+3\) où \(x\) désigne un nombre supérieur à 2.
L'unité de longueur est le centimètre.
Partie A : Etude d'un cas particulier \(x=3\).
1) Pour \(x=3\), calculer AB et AF.
2) Pour \(x=3\), calculer l'aire du rectangle FECD.
Partie B : Etude du cas général : \(x\) désigne un nombre supérieur à 2.
1) Exprimer la longueur FD en fonction de \(x\).
2) En déduire que l'aire de FECD est égale à \((2x+1)(x-2)\).
3) Exprimer en fonction de \(x\), les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF.
4) En déduire que l'aire du rectangle FECD est \((2x+1)^{2}-(2x+1)(x+3)\).
5) Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc :
\[(2x+1)^{2}-(2x+1)(x+3)=(2x+1)(x-2)\] Cette égalité traduit-elle un développement ou une factorisation ?