IDENTITES REMARQUABLES Cours

I) Développement

A) Distributivité simple

Exemples :
\[ \begin{align*} A&={\color{blue}2}({\color{red}x}+{\color{green}4})\\ &={\color{blue}2}\times {\color{red}x}+{\color{blue}2}\times {\color{green}4}\\ &=2x+8 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} B&={\color{blue}3 \color{blue}x}({\color{red}5 \color{red}x}+{\color{green}2})\\ &={\color{blue}3 \color{blue}x}\times {\color{red}5 \color{red}x}+{\color{blue}3 \color{blue}x}\times {\color{green}2}\\ &=15x^{2}+6x \end{align*} \]
\[ \begin{align*} C&={\color{blue}5}({\color{red}3 \color{red}x}-{\color{green}4})\\ &={\color{blue}5}({\color{red}3 \color{red}x}+{\color{green}( \color{green}- \color{green}4 \color{green})})\\ &={\color{blue}5}\times {\color{red}3 \color{red}x}+{\color{blue}5}\times {\color{green}( \color{green}- \color{green}4 \color{green})}\\ &=15x-20 \end{align*} \]
Il ne faut pas oublier de réduire l’expression et l’ordonner. On rassemble les termes de même degré, c'est-à-dire les \(x^{2}\) avec les \(x^{2}\), les \(x\) avec les \(x\) et les nombres avec les nombres comme dans les exemples ci-dessus.
Ensuite, on les ordonne par degré, c'est-à-dire par puissances décroissantes de \(x\). D’abord les \(x^{2}\), puis les \(x\), puis les constantes.

B) Double distributivité

Démonstration :
On utilise la relation de la distributivité simple en remplaçant \(k\) par \(a+b\).
\[ \begin{align*} (a+b)(c+d)&=k(c+d)\\ &=kc+kd\\ &=(a+b)c+(a+b)d\\ &=ac+bc+ad+bd\\ &=ac+ad+bc+bd \end{align*} \]
Exemples :
\[ \begin{align*} D&=({\color{blue}3 \color{blue}x}+{\color{red}2})(2x+1)\\ &={\color{blue}3 \color{blue}x}\times 2x+{\color{blue}3 \color{blue}x}\times 1+{\color{red}2}\times 2x+{\color{red}2}\times 1\\ &=6x^{2}+3x+4x+2\\ &=6x^{2}+7x+2 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} E&=({\color{blue}x}-{\color{red}5})(x+3)-({\color{blue}2 \color{blue}x}-{\color{red}1})(3x+6)\\ &={\color{blue}x}\times x+{\color{blue}x}\times 3+{\color{red}( \color{red}- \color{red}5 \color{red})}\times x+{\color{red}( \color{red}- \color{red} 5 \color{red})}\times 3\\ &\qquad -\left[{\color{blue}2 \color{blue}x}\times 3x+{\color{blue}2 \color{blue}x}+{\color{red}( \color{red}- \color{red}1 \color{red})}\times 3x+{\color{red}( \color{red}- \color{red}1 \color{red})}\times 6\right]\\ &=x^{2}+3x-5x-15-(6x^{2}+12x-3x-6)\\ &=x^{2}-2x-15-(6x^{2}+9x-6)\\ &=x^{2}-2x-15-6x^{2}-9x+6\\ &=-5x^{2}-11x-9 \end{align*} \]
Ne pas oublier que lorsqu'on a un signe "-" devant une parenthèse, cela change tous les signes à l'intérieur des parenthèses.

II) Identités remarquables

Trois nouvelles relations sont à connaître par cœur : elles sont appelées « identités remarquables ».

A) Carré d'une somme

Démonstration par le calcul :
On utilise la relation de double distributivité vue dans le I) pour démontrer cette identité remarquable.
\[ \begin{align*} (a+b)^{2}&=(a+b)(a+b)\\ &=a\times a+a \times b+b \times a+b\times b\\ &=a^{2}+ab+ba+b^{2}\\ &=a^{2}+ab+ab+b^{2}\\ &=a^{2}+2ab+b^{2} \end{align*} \] Une démonstration géométrique est proposée dans les exercices.

Exemples :
\[ \begin{align*} F&=(\underbrace{x}_{a}+\underbrace{4}_{b})^{2}\\ &=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}+\underbrace{2\times x\times 4}_{2ab}+\underbrace{4^{2}}_{b^{2}}\\ &=x^{2}+8x+16 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} G&=(\underbrace{3x}_{a}+\underbrace{5}_{b})^{2}\\ &=\underbrace{(3x)^{2}}_{a^{2}}+\underbrace{2\times 3x\times 5}_{2ab}+\underbrace{5^{2}}_{b^{2}}\\ &=3^{2}x^{2}+30x+25\\ &=9x^{2}+30x+25 \end{align*} \]  Rappel :
\[(ax)^{2}=a^{2}x^{2}\neq ax^{2}\] Dans le calcul de \(G\), on a : \((3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=9x^{2}\) qui est bien différent de \(3x^{2}\).

B) Carré d'une différence

Démonstration par le calcul :
On utilise la relation de double distributivité vue dans le I) pour démontrer cette identité remarquable.
\[ \begin{align*} (a-b)^{2}&=(a-b)(a-b)\\ &=(a+(-b))(a+(-b))\\ &=a\times a+a \times (-b)+(-b) \times a+(-b)\times (-b)\\ &=a^{2}-ab-ba+b^{2}\\ &=a^{2}-ab-ab+b^{2}\\ &=a^{2}-2ab+b^{2} \end{align*} \] Une démonstration géométrique est proposée dans les exercices.

Exemples :
\[ \begin{align*} H&=(\underbrace{x}_{a}-\underbrace{2}_{b})^{2}\\ &=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{2\times x\times 2}_{2ab}+\underbrace{2^{2}}_{b^{2}}\\ &=x^{2}-4x+4 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} I&=(\underbrace{2x}_{a}-\underbrace{4}_{b})^{2}\\ &=\underbrace{(2x)^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{2\times 2x\times 4}_{2ab}+\underbrace{4^{2}}_{b^{2}}\\ &=2^{2}x^{2}-16x+16\\ &=4x^{2}-16x+16 \end{align*} \]  

C) Produit d'une somme par une différence :

Démonstration par le calcul :
On utilise la relation de double distributivité vue dans le I) pour démontrer cette identité remarquable.
\[ \begin{align*} (a+b)(a-b)&=(a+b)(a+(-b))\\ &=a\times a+a \times (-b)+b \times a+b\times (-b)\\ &=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\ &=a^{2}-ab+ab-b^{2}\\ &=a^{2}-b^{2} \end{align*} \] Une démonstration géométrique est proposée dans les exercices.

Exemples :
\[ \begin{align*} J&=(\underbrace{x}_{a}+\underbrace{1}_{b})(\underbrace{x}_{a}-\underbrace{1}_{b})\\ &=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{1^{2}}_{b^{2}}\\ &=x^{2}-1 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} K&=(\underbrace{2x}_{a}+\underbrace{4}_{b})(\underbrace{2x}_{a}-\underbrace{4}_{b})\\ &=\underbrace{(2x)^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{4^{2}}_{b^{2}}\\ &=2^{2}x^{2}-16\\ &=4x^{2}-16 \end{align*} \]

III) Factorisation

Pour factoriser une somme ou une différence, il y a deux possibilités : reconnaître une identité remarquable ou reconnaître un facteur commun.

A) Reconnaître une identité remarquable

Cours sur les identités remarquables, le développement et la factorisation pour la troisième (3ème)
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