IDENTITES REMARQUABLES
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Exercice 1
\[
\begin{align*}
A&=(x+6)^{2}\\
&=x^{2}+2\times x\times 6+6^{2}\\
&=x^{2}+12x+36
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=(3x+1)^{2}\\
&=(3x)^{2}+2\times 3x\times 1+1^{2}\\
&=9x^{2}+6x+1
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} C&=(2x+2)^{2}\\ &=(2x)^{2}+2\times 2x\times 2+2^{2}\\ &=4x^{2}+8x+4 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} D&=\left(6x+\frac{5}{6}\right)^{2}\\ &=(6x)^{2}+2\times 6x\times \frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\ &=36x^{2}+10x+\frac{25}{36} \end{align*} \]
Exercice 2
\[ \begin{align*} A&=(x-7)^{2}\\ &=x^{2}-2\times x\times 7+7^{2}\\ &=x^{2}-14x+49 \end{align*} \]\[ \begin{align*} B&=\left(5x-\frac{2}{5}\right)^{2}\\ &=(5x)^{2}-2\times 5x\times \frac{2}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\\ &=25x^{2}-4x+\frac{4}{25} \end{align*} \]
\[
\begin{align*}
C&=(8x-1)^{2}\\
&=(8x)^{2}-2\times 8x\times 1+1^{2}\\
&=64x^{2}-16x+1
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=(3x-4)^{2}\\
&=(3x)^{2}-2\times 3x\times 4+4^{2}\\
&=9x^{2}-24x+16
\end{align*}
\]
Exercice 3
\[
\begin{align*}
A&=(x+5)(x-5)\\
&=x^{2}-5^{2}\\
&=x^{2}-25
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} B&=\left(3x+\frac{2}{3}\right)\left(3x-\frac{2}{3}\right)\\ &=(3x)^{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\\ &=9x^{2}-\frac{4}{9} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} B&=\left(3x+\frac{2}{3}\right)\left(3x-\frac{2}{3}\right)\\ &=(3x)^{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\\ &=9x^{2}-\frac{4}{9} \end{align*} \]
\[
\begin{align*}
C&=(2x-6)(2x+6)\\
&=(2x)^{2}-6^{2}\\
&=4x^{2}-36
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} D&=(-2x+3)(-2x-3)\\ &=(-2x)^{2}-3^{2}\\ &=4x^{2}-9 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} D&=(-2x+3)(-2x-3)\\ &=(-2x)^{2}-3^{2}\\ &=4x^{2}-9 \end{align*} \]
Exercice 4
\[
\begin{align*}
A&=16x^{2}+40x+25\\
&=(4x)^{2}+2\times 4x\times 5+5^{2}\\
&=(4x+5)^{2}
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} B&=9x^{2}+42x+49\\ &=(3x)^{2}+2\times 3x\times 7+7^{2}\\ &=(3x+7)^{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} B&=9x^{2}+42x+49\\ &=(3x)^{2}+2\times 3x\times 7+7^{2}\\ &=(3x+7)^{2} \end{align*} \]
\[
\begin{align*}
C&=4x^{2}+24x+36\\
&=(2x)^{2}+2\times 2x\times 6+6^{2}\\
&=(2x+6)^{2}
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} D&=x^{2}+3x+\frac{9}{4}\\ &=x^{2}+2\times x\times \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\ &=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} D&=x^{2}+3x+\frac{9}{4}\\ &=x^{2}+2\times x\times \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\ &=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} \end{align*} \]
Exercice 5
\[ \begin{align*} A&=25x^{2}-20x+4\\ &=(5x)^{2}-2\times 5x\times 2+2^{2}\\ &=(5x-2)^{2} \end{align*} \]\[ \begin{align*} B&=49x^{2}-4x+\frac{4}{49}\\ &=(7x)^{2}-2\times 7x\times \frac{2}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}\\ &=\left(7x-\frac{2}{7}\right)^{2} \end{align*} \]
\[
\begin{align*}
C&=4x^{2}-4x+1\\
&=(2x)^{2}-2\times 2x\times 1+1^{2}\\
&=(2x-1)^{2}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=81x^{2}-18x+1\\
&=(9x)^{2}-2\times 9x\times 1+1^{2}\\
&=(9x-1)^{2}
\end{align*}
\]
Exercice 6
\[
\begin{align*}
A&=x^{2}-25\\
&=x^{2}-5^{2}\\
&=(x-5)(x+5)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=9x^{2}-49\\
&=(3x)^{2}-7^{2}\\
&=(3x-7)(3x+7)
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} C&=\frac{169}{16}x^{2}-\frac{64}{49}\\ &=\left(\frac{13}{4}x\right)^{2}-\left(\frac{8}{7}\right)^{2}\\ &=\left(\frac{13}{4}x-\frac{8}{7}\right)\left(\frac{13}{4}x+\frac{8}{7}\right) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} D&=(x-7)^{2}-(2x-3)^{2}\\ &=\left[(x-7)-(2x-3)\right]\left[(x-7)+(2x-3)\right]\\ &=(x-7-2x+3)(x-7+2x-3)\\ &=(-x-4)(3x-10) \end{align*} \]
Exercice 7
1) Calcul de l'aire du carré ABCD : \[ \begin{align*} A_{\text{ABCD}}&=AB\times AD \\ &=(AE+EB)\times (AF+FD)\\ &=(a+b)\times (a+b)\\ &=(a+b)^{2} \end{align*} \] 2) Calcul de l'aire du carré AEIF :
\[ \begin{align*} A_{\text{AEIF}}&=AE\times AF \\ &=a\times a\\ &=a^{2} \end{align*} \]
Calcul de l'aire du rectangle EBHI :
\[ \begin{align*} A_{\text{EBHI}}&=EB\times EI \\ &=b\times a\\ &=ab \end{align*} \]
Calcul de l'aire du rectangle FIGD :
\[ \begin{align*} A_{\text{FIGD}}&=FI\times FD \\ &=a\times b\\ &=ab \end{align*} \]
Calcul de l'aire du rectangle IHCG :
\[ \begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=IH\times IG \\ &=b\times b\\ &=b^{2} \end{align*} \]
3) Calcul de l'aire ABCD :
\[ \begin{align*} A_{\text{ABCD}}&=A_{\text{AEIF}}+A_{\text{EBHI}}+A_{\text{FIGD}}+A_{\text{IHCG}} \\ &=a^{2}+ab+ab+b^{2}\\ &=a^{2}+2ab+b^{2} \end{align*} \]
4) En utilisant les résultats des questions 1 à 3, nous avons : \[ \begin{align*} A_{\text{ABCD}}&=(a+b)^{2} \\ &=a^{2}+2ab+b^{2} \end{align*} \] On reconnaît bien notre identité remarquable.
Exercice 8
1) Calcul de l'aire GBFH :
\[ \begin{align*} A_{\text{GBFH}}&=GB\times BF \\ &=(a-b)\times (a+b) \end{align*} \]
2) Calcul de l'aire ABFE :
\[ \begin{align*} A_{\text{ABFE}}&=AB\times AE \\ &=a\times (a+b) \end{align*} \]
Calcul de l'aire AGID :
\[ \begin{align*} A_{\text{AGID}}&=AG\times AD \\ &=b\times a\\ &=ab \end{align*} \]
Calcul de l'aire DIHE :
\[ \begin{align*} A_{\text{DIHE}}&=DI\times DE \\ &=b\times b\\ &=b^{2} \end{align*} \]
3) Calcul de l'aire GBFH :
\[ \begin{align*} A_{\text{GBFH}}&=A_{\text{ABFE}}-A_{\text{AGID}}-A_{\text{DIHE}} \\ &=a^{2}+ab-ab-b^{2}\\ &=a^{2}-b^{2} \end{align*} \]
4) En utilisant les résultats des questions 1 à 3, nous avons : \[ \begin{align*} A_{\text{GBFH}}&=(a+b)(a-b) \\ &=a^{2}-b^{2} \end{align*} \] On reconnaît bien notre identité remarquable.
Exercice 9
1) Calcul de l'aire IHCG :
\[ \begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=IH\times IG \\ &=(a-b)\times (a-b)\\ &=(a-b)^{2} \end{align*} \]
2) Calcul de l'aire AEIF :
\[ \begin{align*} A_{\text{AEIF}}&=AE\times AF \\ &=b\times b\\ &=b^{2} \end{align*} \]
Calcul de l'aire EBHI :
\[ \begin{align*} A_{\text{EBHI}}&=EB\times EI \\ &=(a-b)\times b\\ &=ab-b^{2} \end{align*} \]
Calcul de l'aire FIGD :
\[ \begin{align*} A_{\text{FIGD}}&=FI\times FD \\ &=b\times (a-b)\\ &=ab-b^{2} \end{align*} \]
3) Calcul de l'aire IHCG : \[ \begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=A_{\text{ABCD}}-A_{\text{AEIF}}-A_{\text{EBHI}}-A_{\text{FIGD}} \\ &=a^{2}-b^{2}-(ab-b^{2})-(ab-b^{2})\\ &=a^{2}-b^{2}-ab+b^{2}-ab+b^{2}\\ &=a^{2}-2ab+b^{2} \end{align*} \]
4) En utilisant les résultats des questions 1 à 3, nous avons : \[ \begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=(a-b)^{2} \\ &=a^{2}-2ab+b^{2} \end{align*} \] On reconnaît bien notre identité remarquable.