GENERALITES SUR LES FONCTIONS Correction des exercices ***

Exercice 1 (France juin 2009)

1) Coordonnées de \(B\) :
B \((-4; 4,6)\)

2) La courbe \(\mathcal{C}_{3}\) coupe l’axe des abscisses aux points de coordonnées \((-1; 0)\), \((2; 0)\) et \((4; 0)\).

3) La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère. Par conséquent, \(\mathcal{C}_{1}\) est une représentation d’une fonction linéaire.

4) La fonction \(f:x \rightarrow -0.4x+3\) est une fonction affine puisqu’elle est de la forme \(y=ax+b\) .
Sa courbe représentative ne passe pas par l’origine.
L’ordonnée à l’origine est 3 donc elle passe par le point de coordonnées \((0 ; 3)\).
D’autre part, le coefficient directeur est négatif donc la courbe « descend ».
\(\mathcal{C}_{2}\) est donc la représentation graphique de la fonction affine \(f\).

5) Graphiquement, l’antécédent de 1 par \(f\) est 5.
Pour déterminer par le calcul l’antécédent de 1, il faut résoudre l’équation \(f(x)=1\).
\[ \begin{align*} &-0.4x+3=1\\ \Longleftrightarrow &-0.4x=1-3\\ \Longleftrightarrow &-0.4x=-2\\ \Longleftrightarrow &x=\frac{-2}{-0.4}\\ \Longleftrightarrow &x=5 \end{align*} \] Nous avons donc \(f(x)=1\) lorsque \(x=5\).

6) Graphiquement, on s’aperçoit que A n’appartient pas à C₂.
On calcule \(f(4.6)\)
\[ \begin{align*} f(4.6)&=-0.4\times 4.6+3\\ &=-1.84+3\\ &=1.16 \end{align*} \] 1,16 ≠ 1,2 donc \(A\) n’appartient pas à \(\mathcal{C}_{2}\).

Exercice 2 (Amérique du Nord juin 2015)

1)

2) Il n'y a pas proportionnalité entre la distance parcourue et la durée de parcours de cette étape car la représentation graphique n'est pas une droite. En effet, pour deux intervalles de temps identiques (1 heure par exemple), la distance parcourue n'est pas nécessairement la même : 30 kilomètres entre 1 heure et 2 heures, 60 kilomètres entre 2 heures et 3 heures. Le parcours était peut-être montagneux entre la première et la deuxième heure ce qui peut expliquer qu'il ait parcouru moins de kilomètres en une heure que sur d'autres créneaux horaires.

Exercice 3 (Polynésie juin 2015)

1)

2) Quand on se trouve à 5 mètres de la machine A, le bruit est de 85 décibels (1^er graphique).
Pour la machine B, le bruit est de 85 décibels lorsqu'on se situe à 10 mètres de la machine (2^ème graphique).

Exercice 4 (Nouvelle Calédonie décembre 2015)

1) Prix payé suivant les différentes formules pour un seul clip :
Téléchargement direct : 4€
Téléchargement membre : 12€
Téléchargement premium : 50€
Le choix le moins cher est par conséquent la formule de téléchargement direct.

2) Tableau :

Nombre de clips	1	2	5	10	15
Téléchargement direct	4	8	4 × 5 = 20	10 × 5 = 50	15 × 5 = 75
Téléchargement membre	12	14	10 + 2 × 5 = 20	10 + 2 × 10 = 30	10 + 2 × 15 = 40
Téléchargement premium	50	50	50	50	50

On constate que les tarifs direct et membre sont identiques pour 5 clips par mois ; le tarif membre devient plus intéressant dès le 6^ème clip.

3) Dans cette question, \(x\) désigne le nombre de clips vidéos achetés. \(f,g\) et \(h\) sont trois fonctions définies par :
\[ \begin{align*} f(x)&=50\\ g(x)&=4x\\ h(x)&=2x+10 \end{align*} \]

Exercice 5 (Centres étrangers juin 2014)

1) Si l'eau est à 0°C, alors la température en degré Fahrenheit est égale à :
\[ 1.8 \times 0+32=32 \] 0°C équivaut à 32°F.

2) Si l'eau est à 212°F, alors la température en degré Celsius est égale à :
\[ \begin{align*} &212=1.8x+32\\ &1.8x=180\\ &x=\frac{180}{1.8}\\ &x=100 \end{align*} \] Le thermomètre indiquerait 100°C. A cette température, l'eau bout.

3)

Exercice 6 (Polynésie juin 2014)

1) D'après la case C2, 0 a pour image -7 par la fonction \(f\).
 
2) Calcul de  \(f(6)\) :
\[ \begin{align*} f(6)&=6^{2}+3\times 6-7\\ &=36+18-7\\ &=47 \end{align*} \]  
3) On constate en effet que les cellules E2 et E3 correspondant à l'image de 4 par les fonctions \(f\) et \(g\) sont identiques. La solution à cette équation est donc égale à 4.

4) \(h\) est une fonction affine donc elle est de la forme :
\[ h(x)=ax+b \] D'après le tableau, nous avons \(h(0)=5\) (case C4) ce qui signifie que l'ordonnée à l'origine est 5 (paramètre \(b\) donc la fonction \(h\) peut s'écrire sous la forme :
\[ h(x)=ax+5 \] Il suffit d'avoir un autre point pour déterminer le paramètre \(a\), par exemple le point \((2;1)\) :
\[ \begin{align*} &1=a\times 2+5\\ &-4=2a\\ &a=\frac{-4}{2}\\ &a=-2 \end{align*} \] Nous avons ainsi retrouvé l’expression algébrique \(h(x)\) de la fonction affine \(h\) qui est :
\[h(x)=-2x+5\]

Exercice 7 (Amérique du Nord juin 2013)

On dispose d’un carré de métal de 40 cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipèdique, on enlève à chaque coin un carré de côté \(x\) et on relève les bords par pliage.
1) Tout d'abord, \(x\) est nécessairement positif puisque c'est une longueur.
Etant donné que l'on enlève \(x\) deux fois dans une longueur, on ne peut pas enlever plus de 20 cm. Par conséquent, nous avons :
\[0<x<20\]
2) La longueur de la boîte mesure \(40-2\times 5=30\) cm. De même pour la largeur. La hauteur mesure 5 cm. Par conséquent, le volume de la boîte est égal à :
\[ \begin{align*} V&=L\times l \times h\\ &=5\times 30\times 30\\ &=4500 \end{align*} \] Le volume est de 4500 cm³.

3)

Correction des exercices de brevet sur les fonctions (généralités) pour la troisième (3ème)
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