EXPONENTIELLE
Sujet des exercices **

Exercice 1

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \[ f(x)=\frac{e^{x}}{x}. \] 1) Déterminer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\) strictement positif.
2) Sachant que \(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty\), établir le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0;+\infty[\).
3) En déduire l'existence et le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=5\).

Exercice 2

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0;+\infty[\) par \[ g(x)=xe^{x^{2}}. \] 1) Déterminer \(g'(x)\) pour tout réel \(x\) positif.
2) Etablir le tableau de variations de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0;+\infty[\).
3) En remarquant une propriété sur la fonction \(g\), établir sans autre calcul le tableau de variations de la fonction \(g\) sur l'intervalle \(]-\infty;0]\).

Exercice 3

On considère la fonction \(h\) définie sur \([0;2\pi]\) par \[ h(x)=e^{\sin x}-1. \] 1) Déterminer les valeurs de \(x\) appartenant à l'intervalle \([0;2\pi]\) telles que \(h(x)=0\).
2) Déterminer \(h'(x)\) pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0;2\pi]\).
3) En déduire le tableau de variations de la fonction \(h\) sur l'intervalle \([0;2\pi]\).

Exercice 4

On considère la fonction \(i\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ i(x)=-xe^{0.5x-4}. \] 1) Calculer \(\lim_{x\rightarrow +\infty} i(x)\).
2) Calculer \(\lim_{x\rightarrow -\infty} i(x)\).
3) Déterminer \(i'(x)\) pour tout réel \(x\).
4) En déduire le tableau de variations de la fonction \(i\) sur \(\mathbb{R}\).
5) Existe-t-il des solutions à l'équation \(i(x)=0.01\) ? Si oui, préciser leur nombre et donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à 0.1 près.

Exercice 5

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\(e^{2x}-4e^{x}+3=0\)
\(-e^{-2x}+8e^{-x}+9=0\)

Exercice 6

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)=xe^{ax}+b, \] avec \(a\) et \(b\) deux réels.
1) Sachant que \(f(0)=4\) et \(f'(2)=0\), déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\).
2) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
3) Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d'abscisses 2.
4) Déterminer si la tangente de la question précédente est située au-dessus ou au-dessous de la courbe représentative de la fonction \(f\).

Exercice 7

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
\(f(x)=e^{3x+2}\)
\(\displaystyle g(x)=x^{3}e^{\frac{1}{x}+1}\)
\(\displaystyle h(x)=e^{e^{x}}\)
\(\displaystyle i(x)=\sqrt{x}e^{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

Exercice 8

Donner les primitives des fonctions suivantes :
\(f(x)=6xe^{3x^{2}+2}\)
\(g(x)=\displaystyle -\frac{2}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}\)
\(h(x)=\sin(x)e^{\cos(x)+4}\)
\(i(x)=\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}e^{2\sqrt{x}}\)

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