Processing math: 100%

GEOMETRIE DANS L'ESPACE, VOLUMES Correction des exercices **

Exercice 1

1) La hauteur de l'aquarium est égale à 27 cm (rayon de la sphère auquel on ajoute la distance AB).

2) La section de cet aquarium par le plan est un cercle de centre B.

3) Le triangle ABC est rectangle en B, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur BC :
$$\begin{align*} &AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\\ &BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}\\ &BC^{2}=20^{2}-7^{2}\\ &BC^{2}=400-49\\ &BC^{2}=351\\ &BC=\sqrt{351} \text{ cm valeur exacte}\\ &BC\approx 18.7 \text{ cm valeur approchée au mm} \end{align*}$$ BC mesure environ 18.7 cm.

4) Calcul du volume de la sphère :
$$\begin{align*} V_{\text{sphère}}&=\frac{4}{3}\pi r^{3}\\ &=\frac{4}{3}\pi \times AC^{3}\\ &=\frac{4}{3}\pi \times 20^{3}\\ &=\frac{32000}{3}\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ \end{align*}$$ On en déduit le volume de l'aquarium :
$$\begin{align*} V_{\text{aquarium}}&=V_{\text{sphère}}-V_{\text{calotte}}\\ &=\frac{32000}{3}\pi- \frac{7943}{3}\pi\\ &=\frac{24057}{3}\pi\\ &=8019\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 25192 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$
5) Sachant que :
1 dm³ = 1 litre = 1000 cm³, et que le volume à remplir est de 25192 cm³, il faudra 25.192 litres d'eau pour remplir au maximum cet aquarium.

Exercice 2

1) La section de la pyramide EABCD par la plan parallèle à sa base ABCD et passant par F est le rectangle EGHI.

2) Etant donné qu'on a tracé le plan parallèle à la face ABCD et passant par F, la droite (FG) est parallèle à la droite (AB). Dans le triangle ABE, et d'après le théorème de Thalès, nous avons :
$$\frac{EF}{EA}=\frac{EG}{EB}=\frac{FG}{AB}$$ Sachant que l'on connaît EF (= EA - AF), AE et AB, nous avons :
$$\begin{align*} &\frac{EF}{EA}=\frac{FG}{AB}\\ &\frac{6}{10}=\frac{FG}{3}\\ &FG=\frac{6}{10}\times 3\\ &FG=1.8 \text{ cm} \end{align*}$$ FG mesure 1.8 cm.

3) Pour passer de la longueur AB à la longueur FG, on multiplie la longueur AB par :
$$\frac{FG}{AB}=0.6$$ Le coefficient de réduction vaut 0.6.

4) Calcul de l'aire du rectangle ABCD :
$$\begin{align*} A_{ABCD}&=AB \times BC\\ &=3 \times 6\\ &=18 \text{ cm}^{2} \end{align*}$$ Lorsqu'on multiplie les dimensions d'un rectangle par 0.6, on multiplie l'aire par 0.6² et on a donc :
$$\begin{align*} A_{FGHI}&=A_{ABCD}\times 0.6^{2}\\ &=18 \times 0.6^{2}\\ &=6.48 \text{ cm}^{2} \end{align*}$$ L'aire d'FGHI est de 6.48 cm².

5) Calcul du volume de la pyramide EABCD :
$$\begin{align*} V_{EABCD}&=\frac{\text{Aire de la base} \times {\text{hauteur}}}{3}\\ &=\frac{A_{ABCD}\times AE}{3}\\ &=\frac{18\times 10}{3}\\ &=60 \text{ cm}^{3} \end{align*}$$ Le volume de la pyramide EABCD est de 60 cm³.
Lorsqu'on multiplie les dimensions de la pyramide EABCD par 0.6 pour obtenir celles de la pyramide EFGHI, on multiplie son volume par 0.6³ :
$$\begin{align*} V_{EFGHI}&=0.6^{3}\times V_{EABCD}\\ &=0.6^{3}\times 60\\ &=12.96 \text{ cm}^{3} \end{align*}$$ Le volume de la pyramide EFGHI est de 12.96 cm³.

Exercice 3

1) Comme [AC] est la hauteur du cône, la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (AE). Par conséquent, le triangle AEC est rectangle en A et on a donc :
$$\begin{align*} &AC^{2}+AE^{2}=CE^{2}\\ &CE^{2}=6^{2}+3^{2}\\ &CE^{2}=36+9\\ &CE^{2}=45\\ &CE=\sqrt{45} \text{ cm valeur exacte}\\ &CE\approx 6.71 \text{ cm valeur approchée} \end{align*}$$ CE mesure approximativement 6.71 cm.

2) Comme on a réalisé la section de ce cône par un plan parallèle à sa base et passant par le point B, la droite (BD) est parallèle à la droite (AE).
Dans le triangle CAE, et d'après le théorème de Thalès, on a :
$$\frac{CB}{CA}=\frac{CD}{CE}=\frac{BD}{AE}$$ Sachant que l'on connaît AB, AC et AE, nous avons :
$$\begin{align*} &\frac{CB}{CA}=\frac{BD}{AE}\\ &BD=\frac{CB}{CA}\times AE\\ &BD=\frac{3}{6}\times 3\\ &BD=1.5 \text{ cm} \end{align*}$$ BD mesure 1.5 cm.

3) Pour passer de la longueur AE à la longueur BD, on multiplie la longueur AE par :
$$\frac{BD}{AE}=0.5$$ Le coefficient de réduction vaut 0.5.

4) Calcul de l'aire du cercle de rayon AE :
$$\begin{align*} A_{1}&= \pi r^{2}\\ &= \pi \times AE^{2}\\ &= \pi \times 3^{2}\\ &= 9\pi \text{ cm}^{2} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 28.27\text{ cm}^{2} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ L'aire du cercle de rayon AE est approximativement de 28.27 cm².
Lorsqu'on multiplie le rayon d'un cercle par 0.5, on multiplie l'aire par 0.5² et on a donc :
$$\begin{align*} A_{2}&=0.5^{2}\times A_{1}\\ &=0.25\times 9\pi\\ &=2.25\pi \text{ cm}^{2} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 7.07\text{ cm}^{2} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ L'aire du cercle de rayon BD est approximativement de 7.07 cm².

5) Calcul du volume du grand cône :
$$\begin{align*} V_{1}&=\frac{\text{Aire de la base} \times {\text{hauteur}}}{3}\\ &=\frac{A_{1}\times AC}{3}\\ &=\frac{9\pi \times 6}{3}\\ &=18\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 56.55\text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ Le volume du grand cône est approximativement de 56.55 cm³.
Lorsqu'on multiplie les dimensions d'un cône par 0.5, on multiplie son volume par 0.5³ :
$$\begin{align*} V_{2}&=0.5^{3}\times V_{1}\\ &=0.5^{3}\times 18\pi\\ &=2.25\pi \text{ cm}^{3}\text{ valeur exacte}\\ &\approx 7.07\text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ Le volume du petit cône est approximativement de 7.07 cm³.

6) Volume du cône tronqué :
$$\begin{align*} V&=V_{1}-V_{2}\\ &=18\pi-2.25\pi\\ &=15.75\pi \text{ cm}^{3}\text{ valeur exacte}\\ &\approx 49.48\text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ Le volume du cône tronqué est approximativement de 49.38 cm³.

Exercice 4

Volume du cône :
$$\begin{align*} V_{\text{cône}}&=\frac{\text{Aire de la base} \times {\text{hauteur}}}{3}\\ &=\frac{\pi r^{2}h}{3}\\ &=\frac{\pi \times AC^{2}\times AB}{3}\\ &=\frac{\pi \times 2.5^{2}\times 13}{3}\\ &=\frac{81.25}{3}\pi \text{ valeur exacte}\\ &\approx 85.04\text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ Volume de la demi-boule :
$$\begin{align*} V_{\text{demi-boule}}&=\frac{1}{2}V_{\text{boule}}\\ &=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi r^{3}\\ &=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi \times AC^{3}\\ &=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi \times 2.5^{3}\\ &=\frac{31.25}{3}\pi \text{cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\ &\approx 32.49\text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ Volume total de glace dans un cornet :
$$\begin{align*} V_{\text{glace}}&=V_{\text{cône}}+V_{\text{demi-boule}}\\ &=\frac{81.25}{3}\pi+\frac{31.25}{3}\pi\\ &=37.5\pi \text{cm}^{3}\text{ valeur exacte}\\ &\approx 117.81\text{ cm}^{3} \text{ valeur approchée} \end{align*}$$ Chaque cornet nécessite 117.81 cm³ de glace.
Etant donné que le vendeur de glace a des bacs de 5 litres :
5 litres = 5 dm³ = 5000 cm³
Le nombre de cornets qu'il peut totalement remplir est égal à :
$$\frac{5000}{117.81}\approx 42.44 \rightarrow 42$$ Il pourra remplir totalement 42 cornets de glace avec un bac de 5 litres de glace.

Correction des exercices d'application sur la géométrie dans l'espace et les volumes pour la troisième (3ème)
© Planète Maths