EQUATIONS Correction des exercices ***
|
Exercice 1 (Polynésie septembre 2012)
1)
a) Lorsque le nombre de
départ est 4 :
\[
\begin{align*}
(4+1)^{2}-16&=5^{2}-16\\
&=25-16\\
&=9\\
\end{align*}
\]
On trouve 9 comme résultat.
b) Lorsque le nombre de départ est -3 :
\[
\begin{align*}
(-3+1)^{2}-16&=(-2)^{2}-16\\
&=4-16\\
&=-12\\
\end{align*}
\]
On trouve -12 comme résultat.
c) Lorsque le nombre de départ est \(x\) :
\(P=(x+1)^{2}-16\)
d) Développement de P :
\[
\begin{align*}
P&=(x+1)^{2}-16\\
&=x^{2}+2x+1-16\\
&=x^{2}+2x-15
\end{align*}
\]
2) Développement de \((x-3)(x+5)\)
\[
\begin{align*}
(x-3)(x+5)&=x^{2}+5x-3x-15\\
&=x^{2}+2x-15\\
&=P
\end{align*}
\]
On a donc bien \(P=(x-3)(x+5)\).
3) Pour que le résultat obtenu soit 0, on doit résoudre l'équation \(P=0\), c'est à dire \((x-3)(x+5)=0\).
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
x-3=0 \qquad & x+5=0\\
x=3 \qquad & x=-5
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : 3 et -5.
Pour que le résultat final soit 0, on doit choisir 3 ou -5.
Exercice 2 (Centres étrangers Liban juin 2010)
1) Avec le programme B et en prenant 5 comme nombre de départ :
\((5-7)^{2}=(-2)^{2}=4\)
2) Avec le programme A et en prenant -2 comme nombre de départ :
\((-2+5)^{2}=3^{2}=9\)
3)
a) Si on appelle \(x\) le nombre de départ
du programme A, le résultat obtenu est \((x+5)^{2}\).
Pour que le résultat soit nul, il faut résoudre l'équation suivante :
\((x+5)^{2}=0\)
\((x+5)(x+5)=0\)
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
Comme les deux facteurs sont identiques, on doit avoir :
\(x+5=0\) soit \(x=-5\).
Pour que le résultat avec le programme A soit nul, on doit choisir -5.
b) Si on appelle \(x\) le
nombre de départ du programme B, le résultat obtenu est \((x-7)^{2}\).
Pour que le résultat soit égal à 9, il faut résoudre l'équation
suivante :
\[
\begin{align*}
&(x-7)^{2}=9\\
&(x-7)^{2}-9=0\\
&(x-7)^{2}-3^{2}=0\\
&(x-7-3)(x-7+3)=0\\
&(x-10)(x-4)=0
\end{align*}
\]
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
On a donc :
\[
\begin{align*}
x-10=0 \qquad & x-4=0\\
x=10 \qquad & x=4
\end{align*}
\]
Pour que le résultat avec le programme B soit égal à 9, on doit choisir
10 ou 4.
4) Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes, on doit
avoir :
\((x+5)^{2}=(x-7)^{2}\)
\((x+5)^{2}-(x-7)^{2}=0\)
On reconnait l'identité remarquable \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\)
\[
\begin{align*}
&(x+5+x-7)(x+5-(x-7))=0\\
&(2x-2)(x+5-x+7)=0\\
&12(2x-2)=0
\end{align*}
\]
Ce produit est nul si :
\[
\begin{align*}
&2x-2=0\\
&2x=2\\
&x=1
\end{align*}
\]
Pour que les deux programmes donnent le même résultat, il faut que le nombre de départ soit 1.
Exercice 3 (France métropolitaine juin 2010)
1)
a) Lorsque le nombre de
départ est 2, on obtient comme résultat :
\[
\begin{align*}
(2\times (-2)+5)\times 5&=(-4+5)\times 5\\
&=1\times 5\\
&= 5
\end{align*}
\]
b) Lorsque le nombre de départ est 3, on obtient comme résultat :
\[
\begin{align*}
(3\times (-2)+5)\times 5 &=(-6+5)\times 5\\
&=(-1)\times 5 \\
&= -5
\end{align*}
\]
2) Si on appelle \(x\) le
nombre de départ, alors le résultat est donné par :
\[
\begin{align*}
(x\times (-2)+5)\times 5 &=(-2x+5)\times 5\\
&=25-10x
\end{align*}
\]
Si on souhaite obtenir 0, alors on doité résoudre l'équation suivante :
\[
\begin{align*}
&25-10x=0\\
&10x=25\\
&x=2.5
\end{align*}
\]
Cette équation admet une unique solution : 2,5. Si on souhaite que le
résultat soit nul, on doit donc choisir 2,5.
3) Si on développe cette expression, on obtient :
\[
\begin{align*}
(x-5)^{2}-x^{2}&=x^{2}-10x+25-x^{2}\\
&=25-10x
\end{align*}
\]
On remarque que l'on obtient la même expression qu'à la question 2.
Par conséquent, Arthur a raison.
Exercice 4 (Nouvelle-Calédonie décembre 2010)
1) Si on choisit 3 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est
:
\(\displaystyle \frac{(3^{2}+3)\times 2-6}{2}=9\)
Si on choisit 10 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :
\(\displaystyle \frac{(10^{2}+3)\times 2-6}{2}=100\)
Il semble que le résultat obtenu soit égal au carré du nombre de départ.
2)
a) Si on choisit 9 comme
nombre de départ, alors le résultat obtenu est :
\(\displaystyle \frac{(9^{2}+3)\times 2-6}{2}=81\)
On obtient une fois de plus le carré du nombre de départ.
b) Si le résultat est 36, comme c'est le carré de 6, on peut s'attendre
à ce que le nombre choisi au départ soit 6.
3) Si on prend \(x\) comme nombre de
départ, alors le résultat obtenu est :
\[
\begin{align*}
\frac{(x^{2}+3)\times 2-6}{2}&=\frac{2x^{2}+6-6}{2}\\
&=\frac{2x^{2}}{2}\\
&=x^{2}
\end{align*}
\]
On trouve que le résultat obtenu \(x^{2}\) est bien le carré du nombre de départ \(x\).
Correction des exercices de brevet sur les équations du premier degré pour la troisième (3ème)
© Planète Maths