I) Rappels
A) Définitions
Définition
Une
équation est une égalité entre deux expressions
mathématiques appelées
« membres de l’équation » et dans laquelle une ou
plusieurs inconnues
figurent.
L’inconnue
est la valeur que l’on cherche à déterminer. On utilise très
souvent une lettre (\(x\) par
exemple).
Résoudre
une équation consiste à déterminer la valeur (ou les
valeurs)
des inconnues pour laquelle (ou lesquelles) l’égalité est vérifiée.
Exemple
1 : \(3x+4=7\)
Le membre de gauche de l’équation est \(3x+4\), le membre de droite
est 7 et
l’inconnue est \(x\).
Pour résoudre cette équation, on doit chercher toutes les valeurs
de \(x\) qui vérifient cette
égalité.
Ici, lorsque \(x=1\), on a
bien \(3x+4=7\) donc 1 est
solution de
cette équation.
Si on prend \(x=2\), \(3x+4=3\times 2 + 4 =10 \neq 7\)
donc 2
n’est pas solution de
cette équation.
B) Propriétés
Propriété
Si on ajoute ou retranche aux deux membres d’une
équation une même quantité, alors on ne modifie pas les solutions de
cette
équation.
Exemple
2 :
\[
\begin{align*}
&x+8=3x-3\\
&x+8 \text{ } {\color{red} + \text{ } \color{red}3}=3x-3\text{ } {\color{red} + \text{ } \color{red}3}\\
&x+11=3x
\end{align*}
\]
(On a rajouté 3 dans chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l'équation \(x+11=3x\) sont identiques à celles
de
l'équation \(x+8=3x-3\).
Exemple
3 :
\[
\begin{align*}
&x+8=3x-3\\
&x+8\text{ } {\color{red} - \text{ } \color{red}x}=3x-3\text{ } {\color{red} - \text{ } \color{red}x}\\
&8=2x-3
\end{align*}
\]
(On a enlevé \(x\) dans
chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l’équation \(2x-3=8\)
sont
identiques à celles de l'équation \(x+8=3x-3\).
Propriété
Si on multiplie ou si on divise les deux membres
d’une équation par une même quantité non
nulle, alors on ne modifie pas les solutions de cette
équation.
Exemple
4 :
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}x+1=7\\
&\left(\frac{1}{2}x+1\right) {\color{red} \times \text{ } \color{red}2}=7\text{ } {\color{red} \times \text{ } \color{red}2}\\
&x+2=14
\end{align*}
\]
(On a multiplié par 2 chaque membre de l’équation).
Les solutions de l'équation \(x+2=14\) sont
identiques à celles de l'équation \(\displaystyle \frac{1}{2} x+1=7\).
Exemple
5 :
\[
\begin{align*}
&4x^{2}=3x\\
&\frac{4x^{2}}{\color{red}x}=\frac{3x}{\color{red}x}\\
&4x=3
\end{align*}
\]
(On a divisé par \(x\) chaque
membre de
l’équation.)
Les solutions de l’équation \(4x=3\) sont
identiques
à celles de l'équation \(4x^{2}=3x\).
II) Résolution d'équations
A) Equations du premier
degré
Exemple
6 :
\[
\begin{align*}
&x+7=9\\
&x=9-7\\
&x=2
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&2x-1=-3\\
&2x=-3-(-1)\\
&2x=-3+1\\
&2x=-2\\
&x=\frac{-2}{2}\\
&x=-1
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&3x+5=4\\
&3x=4-5\\
&3x=-1\\
&x=-\frac{1}{3}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&x+3=2x-1\\
&x-2x+3=-1\\
&-x=-1-3\\
&-x=-4\\
&x=\frac{-4}{-1}\\
&x=4
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&2x-5=7x+4\\
&2x-7x-5=4\\
&-5x-5=4\\
&-5x=4-(-5)\\
&-5x=4+5\\
&-5x=9\\
&x=\frac{9}{-5}=-\frac{5}{9}
\end{align*}
\]
On regroupe les termes
contenant l’inconnue dans un membre de l’égalité
et les autres termes dans l’autre membre en utilisant les propriétés
vues dans
le I. L’objectif est d’isoler l’inconnue et d’avoir au final l’ensemble
des
valeurs qui
sont solutions de cette équation.
B) Equations du second degré
1) Equations du type \(x^{2}=a\)
Nous avons déjà traité ce type d’équations dans
le chapitre consacré aux racines carrées.
2) Equation produit nul
Définition
On
appelle « équation produit » une équation qui s’écrit
sous la forme d’un
produit de facteurs égal à 0.
Exemple : \((3x+4)(2x-5)=0\)
Propriété
Un
produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. En
effet,
si le produit de \(a\) par \(b\) vaut 0 (\(ab=0\)), alors soit \(a=0\), soit \(b=0\),
soit \(a=b=0\).
Réciproquement, si un facteur est nul, alors le
produit est nul. En effet, si \(a=0\), alors le produit \(ab\) est nul.
Exemple
7 : Résoudre \((x+12)(3x-5)=0\).
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
x+12=0 \qquad & 3x-5=0\\
x=-12 \qquad & 3x=5 \\
\qquad & x=\frac{5}{3}
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : -12
et \(\displaystyle \frac{5}{3}\).
Exemple
8 : Résoudre \((x+5)^{2}=(2x-3)^{2}\).
\[
\begin{align*}
&(x+5)^{2}=(2x-3)^{2}\\
&(x+5)^{2}-(2x-3)^{2}=0
\end{align*}
\]
On utilise l'identité remarquable \(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\).
\[
\begin{align*}
&\left[(x+5)+(2x-3)\right]\times \left[(x+5)-(2x-3)\right]=0\\
&(x+5+2x-3)(x+5-2x+3)=0\\
&(3x+2)(8-x)=0
\end{align*}
\]
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
3x+2=0 \qquad & 8-x=0\\
3x=-2 \qquad & x=8 \\
\qquad & x=-\frac{2}{3}
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)
et 8.