EQUATIONS
Correction des exercices *

Exercice 1

1) Lorsque \(x=2\) :
\[ \begin{align*} 2x+3&=2\times 2+3\\ &=4+3\\ &=7 \end{align*} \] donc 2 est solution de cette équation.

2) Lorsque \(x=11\):
\[ \begin{align*} x-5&=11-5\\ &=6\\ &\neq 9 \end{align*} \] donc 11 n’est pas solution de cette équation.

3) Lorsque \(x=3\) :
\[ \begin{align*} \frac{5}{3}x-\frac{4}{3}&=\frac{5}{3}\times 3-\frac{4}{3}\\ &=\frac{15}{3}-\frac{4}{3}\\ &= \frac{11}{3} \end{align*} \] donc 3 est solution de cette équation.

4) Lorsque \(x=4\) :
\[ \begin{align*} 6(x-3)&=6\times (4-3)\\ &=6\times 1\\ &=6\\ &\neq 3 \end{align*} \] donc 4 n’est pas solution de cette équation.

Exercice 2

\[ \begin{align*} x+3=7 \qquad & 2x-5=6\\ x=7-3 \qquad & 2x=6-(-5)\\ x=4 \qquad & 2x=6+5 \\ \qquad & 2x=11\\ \qquad & x=\frac{11}{2} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} -x-3=4 \qquad & -6x+3=-9\\ -x=4-(-3) \qquad & -6x=-9-3\\ -x=4+3 \qquad & -6x=-12 \\ -x=7 \qquad & x=\frac{-12}{-6}\\ x=-7 \qquad & x=2 \end{align*} \]

\[ \begin{align*} 4(x-5)=-6 \qquad & \frac{3}{5}=\frac{x}{7}\\ 4x-20=-6 \qquad & 5x=3\times 7\\ 4x=-6+20 \qquad & 5x=21 \\ 4x=14 \qquad & x=\frac{21}{5}\\ x=\frac{14}{4} \qquad &\\ x=\frac{7}{2} \qquad &\\ \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \frac{11}{4}=\frac{7}{x} \qquad & \frac{4}{3}x+6=10\\ 11x=4\times 7 \qquad & \frac{4}{3}x=10-6 \\ 11x=28 \qquad & \frac{4}{3}x=4 \\ x=\frac{28}{11} \qquad & x=\frac{4\times 3}{4}\\ \qquad & x=3 \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} \qquad & \frac{1}{8}x-\frac{7}{5}=\frac{13}{20}\\ \frac{5}{2}x=\frac{11}{2}+\frac{3}{2} \qquad & \frac{1}{8}x=\frac{13}{20}+\frac{7}{5} \\ \frac{5}{2}x=\frac{14}{2} \qquad & \frac{1}{8}x=\frac{13}{20}+\frac{28}{20} \\ \frac{5}{2}x=7 \qquad & \frac{1}{8}x=\frac{41}{20}\\ x=\frac{7\times 2}{5} \qquad & x=\frac{41}{20}\times 8\\ x=\frac{14}{5} \qquad & x=\frac{82}{5}\\ \end{align*} \]

Exercice 3

\[ \begin{align*} 3x+4=2x-1 \qquad & x+7=3-5x\\ 3x-2x=-1-4 \qquad & x+5x=3-7 \\ x=-5 \qquad & 6x=-4 \\ \qquad & x=-\frac{4}{6}\\ \qquad & x=-\frac{2}{3}\\ \end{align*} \]

\[ \begin{align*} &\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}=\frac{9}{5}-\frac{7}{3}x\\ &\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}x=\frac{9}{5}-\frac{4}{3} \\ &3x=\frac{27}{15}-\frac{20}{15}\\ &3x=\frac{7}{15}\\ &x=\frac{7}{15}\times \frac{1}{3}\\ &x=\frac{7}{45} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} &9x-\frac{5}{2}=2x+\frac{5}{6}\\ &9x-2x=\frac{5}{6}+\frac{5}{2} \\ &7x=\frac{5}{6}+\frac{15}{6}\\ &7x=\frac{20}{6}\\ &7x=\frac{10}{3}\\ &x=\frac{10}{3}\times \frac{1}{7}\\ &x=\frac{10}{21} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} &\frac{3}{7}x+5=8-\frac{3}{14}x\\ &\frac{3}{7}x+\frac{3}{14}x=8-5 \\ &\frac{6}{14}x+\frac{3}{14}x=3\\ &\frac{9}{14}x=3\\ &x=3\times \frac{14}{9}\\ &x=\frac{14}{3} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} &\frac{3}{7}\left(\frac{7}{3}x+2\right)=\frac{2}{3}\left(4-\frac{7}{5}x\right)\\ &\frac{3}{7}\times \frac{7}{3}x+\frac{3}{7}\times 2=\frac{2}{3}\times 4-\frac{2}{3}\times \frac{7}{5}x \\ &x+\frac{6}{7}=\frac{8}{3}-\frac{14}{15}x\\ &x+\frac{14}{15}x=\frac{8}{3}-\frac{6}{7}\\ &\frac{15}{15}x+\frac{14}{15}x=\frac{56}{21}-\frac{18}{21}\\ &\frac{29}{15}x=\frac{38}{21}\\ &x=\frac{38}{21}\times \frac{15}{29}\\ &x=\frac{38}{7\times 3}\times \frac{5\times 3}{29}\\ &x=\frac{38}{7}\times \frac{5}{29}\\ &x=\frac{190}{203} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} &\frac{7}{3}-5x+\frac{16}{9}=2-x+\frac{5}{6}\\ &\frac{21}{9}+\frac{16}{9}-5x=\frac{12}{6}+\frac{5}{6}-x \\ &\frac{37}{9}-5x=\frac{17}{6}-x\\ &\frac{37}{9}-\frac{17}{6}=-x+5x\\ &\frac{74}{18}-\frac{51}{18}=4x\\ &\frac{23}{18}=4x\\ &x=\frac{23}{18}\times \frac{1}{4}\\ &x=\frac{23}{72} \end{align*} \]

\[ \begin{align*} &\frac{-2x-5}{5}=\frac{3x-8}{4}\\ &-\frac{2}{5}x-1=\frac{3}{4}x-2 \\ &-1+2=\frac{3}{4}x+\frac{2}{5}x\\ &1=\frac{15}{20}x+\frac{8}{20}x\\ &1=\frac{23}{20}x\\ &x=\frac{20}{23} \end{align*} \]

Exercice 4

\(1) \text{ } (5x-2)(x+6)=0\)
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\[ \begin{align*} 5x-2=0 \qquad & x+6=0\\ 5x=2 \qquad & x=-6\\ x=\frac{2}{5} \qquad & \\ x=0.4 \qquad & \end{align*} \] Cette équation admet deux solutions : 0,4 et -6.

\(2) \text{ } (3x+4)(4x+5)=0\)
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\[ \begin{align*} 3x+4=0 \qquad & 4x+5=0\\ 3x=-4 \qquad & 4x=-5\\ x=-\frac{4}{3} \qquad & x=-\frac{5}{4}\\ \qquad & x=-1.25 \end{align*} \] Cette équation admet deux solutions : \(-\displaystyle \frac{4}{3}\) et -1,25.

\(3) \text{ } (3x-5)(-9x+1)=0\)
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\[ \begin{align*} 3x-5=0 \qquad & -9x+1=0\\ 3x=5 \qquad & 9x=1\\ x=\frac{5}{3} \qquad & x=\frac{1}{9}\\ \qquad & \end{align*} \] Cette équation admet deux solutions : \(\displaystyle \frac{5}{3}\) et \(\displaystyle \frac{1}{9}\).

\(\displaystyle 4) \text{ } \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(2x+\frac{1}{3}\right)=0\)
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\[ \begin{align*} x-\frac{1}{2}=0 \qquad & 2x+\frac{1}{3}=0\\ x=\frac{1}{2} \qquad & 2x=-\frac{1}{3}\\ x=0.5 \qquad & x=-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\\ \qquad & x=-\frac{1}{6} \end{align*} \]Cette équation admet deux solutions : 0,5 et \(\displaystyle -\frac{1}{6}\).

\(\displaystyle 5) \text{ } \left(\frac{3}{5}x-1\right)\left(\frac{8}{3}x+2\right)=0\)
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\[ \begin{align*} \frac{3}{5}x-1=0 \qquad & \frac{8}{3}x+2=0\\ \frac{3}{5}x=1 \qquad & \frac{8}{3}x=-2\\ x=\frac{5}{3} \qquad & x=-2\times \frac{3}{8}\\ \qquad & x=-\frac{6}{8} \\ \qquad & x=-\frac{3}{4}\\ \qquad & x=-0.75 \end{align*} \] Cette équation admet deux solutions : \(\displaystyle \frac{5}{3}\) et -0,75.

Exercice 5

Soit \(x\) le nombre cherché.
1) On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &5x-7=23\\ &5x=23+7\\ &5x=30\\ &x=\frac{30}{5}\\ &x=6 \end{align*} \] Le nombre cherché est 23.

2) On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &3x-50=-2\\ &3x=-2+50\\ &3x=48\\ &x=\frac{48}{3}\\ &x=16 \end{align*} \] Le nombre cherché est 16.

3) On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &\frac{x}{4}+7=22\\ &\frac{x}{4}=22-7\\ &\frac{x}{4}=15\\ &x=15\times 4\\ &x=60 \end{align*} \] Le nombre cherché est 60.

4) On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &4(x+20)=20x\\ &4x+80=20x\\ &80=20x-4x\\ &80=16x\\ &x=\frac{80}{16}\\ &x=5 \end{align*} \] Le nombre cherché est 5.

5) On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &2x+8=0\\ &2x=-8\\ &x=-\frac{8}{2}\\ &x=-4 \end{align*} \] Le nombre cherché est -4.

Exercice 6

Soit \(x\) la note obtenue au premier devoir.
Lors du deuxième devoir, elle a obtenu \(x-6\) points sur 20.
Sa moyenne est de 15 donc on peut poser l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &\frac{x+(x-6)}{2}=15\\ &\frac{2x-6}{2}=15\\ &x-3=15\\ &x=15+3\\ &x=18 \end{align*} \] Cette équation admet une unique solution : 18. Pauline a eu 18 et 12 à ses deux devoirs d’Histoire.

Exercice 7

Résolution de l’équation :
\[ \begin{align*} &ax+b=c\\ &ax=c-b\\ &x=\frac{c-b}{a} \end{align*} \] La forme générale des solutions de l’équation \(ax+b=c\) est donnée par la formule suivante :
\[ x=\frac{c-b}{a} \]

Exercice 8

Soit \(x\) le nombre d'années.
Dans \(x\) années, les enfants auront \(12+x\) ans, \(14+x\) ans et \(17+x\) ans.
La somme des âges des enfants dans \(x\) années vaut :
\((12+x)+(14+x)+(17+x)=43+4x\)
On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &43+x=2\times 35\\ &43+x=70\\ &x=70-43\\ &x=27 \end{align*} \] Cette équation admet une unique solution : 27. Dans 27 ans, la somme des âges des enfants sera égale au double de l'âge de la mère.

Exercice 9

Soit \(x\) le prix du soda. On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &3x+2.50=4.60\\ &3x=4.60-2.50\\ &3x=2.10\\ &x=\frac{2.10}{3}\\ &x=0.70 \end{align*} \] Cette équation admet une unique solution : 0,70. Un soda coûte 0€70.

Exercice 10

Soit \(x\) le nombre de timbres de Jean. Bruno a deux fois plus de timbres que Jean donc \(2x\) timbres. On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &x+2x=330\\ &3x=330\\ &x=\frac{330}{3}\\ &x=110 \end{align*} \] Cette équation admet une unique solution : 110. Jean a 110 timbres et Bruno en a 220.

Exercice 11

Soit \(x\) le nombre de photos des Champs Elysées. Le nombre de photos de la Tour Eiffel est donc égal à \(2x\).
On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &x+2x=96\\ &3x=96\\ &x=\frac{96}{3}\\ &x=32 \end{align*} \] Cette équation admet une solution unique : 32. Elle a pris 32 photos des Champs Elysées et 64 photos de la Tour Eiffel.

Exercice 12

Soit \(x\) le prix d’un kg de pommes.
On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &5x=10-6.5\\ &5x=3.5\\ &x=\frac{3.5}{5}\\ &x=0.7 \end{align*} \] Cette équation admet une solution unique : 0,70. Un kg de pommes coûte 0€70.

Exercice 13

Soit \(x\) la largeur du rectangle.
On doit résoudre l’équation suivante :
\[ \begin{align*} &2(x+23)=64\\ &2x+46=64\\ &2x=64-46\\ &2x=18\\ &x=9 \end{align*} \] Cette équation admet une solution unique : 9. La largeur du rectangle est égale à 9 cm.

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