EQUATIONS
Correction des exercices **
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Exercice 1
Soit \(x\) le nombre de DVD
loués. On
doit trouver \(x\) tel
que les deux tarifs soient
identiques,
c'est-à-dire lorsque :
\[
\begin{align*}
&1.5x=x+8\\
&1.5x-x=8\\
&0.5x=8\\
&x=\frac{8}{0.5}\\
&x=16
\end{align*}
\]
Cette équation admet une unique solution : 16. Lorsque le nombre de DVD
loués est égal à 16,
les tarifs des deux magasins sont identiques.
Exercice 2
Prix d’une séance après réduction :
\(\displaystyle 5\times \left(1-\frac{40}{100}\right)=5\times 0.6=3\)
Une séance après réduction coûte 3€.
Soit \(x\) le nombre de séances.
Les deux formules sont identiques lorsque :
\[
\begin{align*}
&5x=20+3x\\
&5x-3x=20\\
&2x=20\\
&x=\frac{20}{2}\\
&x=10
\end{align*}
\]
Cette équation admet une unique solution : 10. Lorsque le nombre de
séances est égal à 10, les
deux formules sont à prix identique.
Exercice 3
\[
\begin{align*}
&(x-1)(2x+6)+(x-1)(4x-3)=0\\
&\boxed{(x-1)}(2x+6)+\boxed{(x-1)}(4x-3)=0\\
&(x-1)\left[(2x+6)+(4x-3)\right]=0\\
&(x-1)(2x+6+4x-3)=0\\
&(x-1)(6x+3)=0\\
&3(x-1)(2x+1)=0
\end{align*}
\]
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
x-1=0 \qquad & 2x+1=0\\
x=1 \qquad & 2x=-1\\
\qquad & x=-\frac{1}{2}=-0.5
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : 1 et
-0,5.
\[
\begin{align*}
&(5x-1)(3x+2)-(5x-1)(x+7)=0\\
&\boxed{(5x-1)}(3x+2)-\boxed{(5x-1)}(x+7)=0\\
&(5x-1)\left[(3x+2)-(x+7)\right]=0\\
&(5x-1)(3x+2-x-7)=0\\
&(5x-1)(2x-5)=0
\end{align*}
\]
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
5x-1=0 \qquad & 2x-5=0\\
5x=1 \qquad & 2x=5\\
x=\frac{1}{5} \qquad & x=\frac{5}{2}\\
x=0.2 \qquad & x=2.5
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : 0,2
et 2,5.
\[
\begin{align*}
&(5x+3)^{2}=(3x-7)^{2}\\
&(5x+3)^{2}-(3x-7)^{2}=0\\
&\left[(5x+3)+(3x-7)\right]\left[(5x+3)-(3x-7)\right]=0\\
&(5x+3+3x-7)(5x+3-3x+7)=0\\
&(8x-4)(2x+10)=0\\
&4(2x-1)\times 2(x+5)=0\\
&8(2x-1)(x+5)=0
\end{align*}
\]
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
2x-1=0 \qquad & x+5=0\\
2x=1 \qquad & x=-5\\
x=\frac{1}{2} \qquad & \\
x=0.5 \qquad &
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : 0,5
et -5.
\[
\begin{align*}
&(-2x+3)(6x+1)+(3-2x)(2x-5)=0\\
&\boxed{(3-2x)}(6x+1)+\boxed{(3-2x)}(2x-5)=0\\
&(3-2x)\left[(6x+1)+(2x-5)\right]=0\\
&(3-2x)(6x+1+2x-5)=0\\
&(3-2x)(8x-4)=0\\
&(3-2x)\times 4 \times (2x-1)=0\\
&4(3-2x)(2x-1)
\end{align*}
\]
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
3-2x=0 \qquad & 2x-1=0\\
2x=3 \qquad & 2x=1\\
x=\frac{3}{2} \qquad & x=\frac{1}{2}\\
x=1.5 \qquad & x=0.5
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : 1,5
et 0,5.
\[
\begin{align*}
&(2x-5)^{2}=(2x-5)(x+1)\\
&(2x-5)^{2}-(2x-5)(x+1)=0\\
&\boxed{(2x-5)}(2x-5)-\boxed{(2x-5)}(x+1)=0\\
&(2x-5)\left[(2x-5)-(x+1)\right]=0\\
&(2x-5)(2x-5-x-1)=0\\
&(2x-5)(x-6)=0
\end{align*}
\]
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\begin{align*}
2x-5=0 \qquad & x-6=0\\
2x=5 \qquad & x=6\\
x=\frac{5}{2} \qquad & \\
x=2.5 \qquad &
\end{align*}
\]
Cette équation admet deux solutions : 2,5
et 6.
Correction des exercices d'application sur les équations du premier degré pour la troisième (3ème)
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