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CENTRES ETRANGERS 1 JUIN 2015 Correction du brevet

Indications portant sur l’ensemble du sujet
Les figures ou croquis ne sont pas en vraie grandeur !
Pour chaque question, laisser toutes traces de la recherche : même non aboutie, elle sera valorisée.

Exercice 1 (5,5 points)

1	2	3
4	5	6
7	8	9

1)
2) Sachant que 1 et 7 sont allumées, il n'y a que 4 comme possibilité pour obtenir trois cases allumées alignées. Sachant qu'il ne reste que 7 cases éteintes possibles à allumer, la probabilité d'obtenir 3 cases allumées sachant que 1 et 7 sont déjà allumées est égale à $\displaystyle \frac{1}{7}$.

Exercice 2 (4 points)

1) Exprimons cette vitesse en m/s :
$$\begin{align*} 1357.6\text{ km/h}&=1357600\text{ m/h}\\ &=\frac{1357600}{3600}\text{ m/s}\\ & \approx 377.11\text{ m/s} \end{align*}$$ Sa vitesse maximale ayant été de 377.11 m/s, il a donc bien franchi le mur du son (340 m/s).

2)

Altitude du saut	38 969,3 m
Distance parcourue en chute libre	36 529 m
Durée totale du saut	9 min 3 s
Durée de la chute libre	4 min 19 s

Distance parcourue en parachute :
$$38969.3-36529=2440.3\text{ m}$$ Il a parcouru 2440.3 mètres en parachute.
Durée du saut en parachute :
9 min 3 s - 4 min 19 s = 4 min 44 s
Transformons 4 min 44 s en secondes :
$$4\text{ min } 44\text{ s}=4\times 60 +44\text{ s}=284\text{ s}$$ Il a mis 284 secondes pour toucher le sol. Sa vitesse en parachute est donc égale à :
$$\frac{2440.3}{284}\approx 8.6\text{ m/s}$$
Soit une vitesse approximative de 9 m/s (valeur arrondie à l'unité).

Exercice 3 (6 points)

1) Figure

2) [KM] est un diamètre du cercle et L un point de ce cercle donc le triangle KLM est rectangle en L.
Calculons la longueur KL pour déterminer ensuite l'aire du triangle KLM.
Le triangle KLM est rectangle en L donc d'après le théorème de Pythagore : $$\begin{align*} &KL^{2}+LM^{2}=KM^{2}\\ &KL^{2}=KM^{2}-LM^{2}\\ &KL^{2}=6^{2}-3^{2}\\ &KL^{2}=36-9\\ &KL^{2}=27\\ &KL=\sqrt{27}\\ &KL=\sqrt{9\times 3}\\ &KL=\sqrt{9}\times \sqrt{3}\\ &KL=3\sqrt{3}\text{ cm} \end{align*}$$ KL mesure $3\sqrt{3}$ cm.
Aire du triangle KLM : $$\begin{align*} A_{KLM}&=\frac{\text{Base }\times\text{ Hauteur}}{2}\\ &=\frac{KL \times LM}{2}\\ &=\frac{3\sqrt{3}\times 3}{2}\\ &=\frac{9}{2}\sqrt{3}\text{ cm}^{3}\text{ (valeur exacte)}\\ &\approx 8\text{ cm}^{3}\text{ (valeur arrondie)}\\ \end{align*}$$ L'aire du triangle KLM est d'environ 8 cm³.

Exercice 4 (6 points)

1)
2)
Plus le nombre de départ est grand, plus le résultat de Mathilde augmente tandis que celui de Paul diminue. On peut s'attendre à ce que le nombre de départ soit compris entre 3 et 4 pour donner le même résultat.

3) Appelons $x$ le nombre de départ. On doit résoudre l'équation suivante :
$$\begin{align*} &9x-8=-3x+31\\ &9x+3x=31+8\\ &12x=39\\ &x=\frac{39}{12}\\ &x=3.25 \end{align*}$$ Le nombre de départ doit être 3.25, qui est bien compris entre 3 et 4.

Exercice 5 (8 points)

1) Etant donné que la courbe représentant la température en degré Fahrenheit n'est pas une droite passant par l'origine du repère, on en déduit qu'il n'y a pas proportionnalité entre la température en degré Celsius et la température en degré Fahrenheit.

2) Graphiquement, 0°C correspond à 32°F. Avec la proposition 3, nous avons : $$\begin{align*} f(0)&=2\times 0+30\\ &=30\\ &\neq 32 \end{align*}$$ donc la proposition 3 est fausse.
Graphiquement, 10°C correspond à 50°F. Avec la proposition 1, nous avons : $$\begin{align*} f(10)&=10+32\\ &=42\\ &\neq 50 \end{align*}$$ donc la proposition 1 est fausse.
Par élimination, on en déduit que la proposition 2 est correcte.

3)
$$\begin{align*} f(10)&=1.8\times 10+32\\ &=18+32\\ &= 50 \end{align*}$$ Et $$\begin{align*} f(-40)&=1.8\times (-40)+32\\ &=-72+32\\ &=-40 \end{align*}$$
4) A la question 3, nous avons montré que $f(-40)=-40$. Cela signifie qu'il existe bien une valeur pour laquelle la température exprimée en degré Celsius est égale à la température exprimée en degré Fahrenheit : -40°C correspond à la même température que -40°F.

Exercice 6 (6,5 points)

Calibre de la gélule	000	00	0	1	2	3	4	5
Longueur L de la gélule (en mm)	26.1	23.3	21.7	19.4	18.0	15.9	14.3	11.1

1) La longueur L de cette gélule est de 16.6 mm plus le diamètre d'une sphère (puisque nous avons deux demi-sphères) : $L=16.6+9.5=26.1\text{ mm}$ Il s'agit d'une gélule de calibre 000.

2) Le volume de cette gélule est le volume d'un cylindre plus le volume d'une sphère.
Calcul du volume du cylindre : $$\begin{align*} V_{\text{cylindre}}&=\pi\times R^{2}\times h \\ &=\pi \times \left(\frac{9.5}{2}\right)^{2}\times 16.6 \\ &=374.5375\pi\\ &\approx 1176.643\text{ mm}^{3} \end{align*}$$ Calcul du volume de la sphère : $$\begin{align*} V_{\text{sphère}}&=\frac{4}{3}\times \pi\times R^{3} \\ &=\frac{4}{3}\times \pi\times \left(\frac{9.5}{2}\right)^{3}\\ &\approx 448.920\text{ mm}^{3} \end{align*}$$ Le volume de la gélule est donc égal à : $$\begin{align*} V_{\text{gélule}}&=V_{\text{cylindre}}+V_{\text{sphère}} \\ &\approx 1176.643+448.920 \\ &\approx 1626\text{ mm}^{3} \end{align*}$$ Le volume de la gélule est approximativement de 1626 mm³.
3) Chaque boîte contient 18 gélules.
Volume total des gélules : $$V_{\text{antibiotique}}\approx 18\times 1626\approx 29268 \text{ mm}^{3}$$ Etant donné que la masse volumique est le rapport entre la masse et le volume, la masse d'antibiotiques absorbée par Robert pendant son traitement est égale à : $$m_{\text{antibiotique}}\approx 6.15\times 10^{-4}\times 29268\approx 18\text{ g}$$ Robert a absorbé environ 18 grammes d'antibiotiques pendant son traitement.

Correction du brevet de mathématiques Centres étrangers 14 juin 2016 (3ème)
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