I) Règles de calcul sur les fractions
\(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont quatre nombres tels que \(c\neq 0\) et \(d\neq 0\).
A) Définitions
Définition
Une fraction
est une division effectuée entre deux nombres entiers
relatifs. Le nombre du haut s’appelle le numérateur et le
nombre du bas
s’appelle le dénominateur.
On peut simplifier une fraction en divisant le numérateur
et le
dénominateur par un même nombre entier.
Le numérateur et le dénominateur de la fraction simplifiée doivent être
nécessairement des nombres entiers.
Exemple 1 :
\[
\frac{12}{15}=\frac{12{\color{red}\div 3}}{15{\color{red}\div 3}}=\frac{4}{5}
\]
On a divisé le numérateur et le dénominateur de
la fraction par un même nombre entier 3. Le numérateur et le
dénominateur de
la fraction obtenue \(\displaystyle \frac{4}{5}\)
sont deux nombres entiers : 4 et 5.
Lorsqu’on a simplifié une fraction au maximum,
c'est-à-dire lorsqu’on ne peut plus diviser le numérateur et le
dénominateur de
la fraction par un entier pour obtenir à nouveau deux nombres entiers,
on dit
que la fraction est irréductible.
Dans l’exemple précédent, \(\displaystyle \frac{4}{5}\) est
une fraction irréductible.
B) Propriétés
1) Addition de fractions
Exemple
2 :
\(\displaystyle \frac{3}{5}+\frac{6}{5}=\frac{3+6}{5}=\frac{9}{5}\)
Propriété
Si les dénominateurs sont différents,
il faut
toujours réduire les deux fractions au même dénominateur.
\[
\begin{align*}
\frac{a}{c}+\frac{b}{d}&=\frac{a{\color{red}\times d}}{c{\color{red}\times d}}+\frac{b{\color{green}\times c}}{d{\color{green}\times c}}\\
&=\frac{ad}{cd}+\frac{bc}{cd}\\
&=\frac{ad+bc}{cd}
\end{align*}
\]
Exemple 3 :
\begin{align*}
\frac{3}{5}+\frac{7}{2}&=\frac{3{\color{red}\times 2}}{5{\color{red}\times 2}}+\frac{7{\color{green}\times 5}}{2{\color{green}\times 5}}\\
&=\frac{6}{10}+\frac{35}{10}\\
&=\frac{6+35}{10}\\
&=\frac{41}{10}
\end{align*}
2)
Multiplication de fractions
Exemple 4 :
\(\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{4}{7}=\frac{2\times 4}{3\times 7}=\frac{8}{21}\)
3)
Division de fractions
Propriété
Lorsqu’on divise une fraction par une autre
fraction, on multiplie la première fraction par l’inverse de la
deuxième
fraction.
Avec \(b\) et \(c\) différents de 0, nous avons :
\(\displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)
Exemple 5 :
\(\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times 4}{3 \times 5}=\frac{8}{15}\)
II) Règles de calcul sur les puissances
Soit \(a\) un nombre et \(n\) un entier positif.
\[
\begin{align*}
&a^{0}=1\qquad & \\
&a^{1}=a \qquad & a^{-1}=\frac{1}{a}\\
&a^{2}=a\times a \qquad & a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}\\
&a^{3}=a\times a \times a \qquad & a^{-3}=\frac{1}{a^{3}}\\
& ... & ... \\
& a^{n}=\underbrace{a\times a \times ... \times a}_{n\text{ facteurs}} \qquad & a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\end{align*}
\]
Définition
Lorsque \(n\) est un entier positif non nul, \(a^{n}\)
représente le résultat de la multiplication de \(a\) par lui-même autant de
fois
qu’indiqué par le nombre \(n\). \(n\) est appelé l’exposant.
Exemple
6 :
\[
\begin{align*}
&4^{0}=1\\
&3^{2}=3\times 3=9\\
&2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0.25
\end{align*}
\]
Lorsque \(n\) est négatif, cela ne
veut pas dire que
\(a^{n}\) sera négatif ! Nous avons un exemple
ci-dessus qui le
démontre bien :
\(2^{-2}=\displaystyle \frac{1}{4}=0.25>0\)
Définition
On dit qu’un nombre \(N\) s’écrit sous forme
scientifique lorsqu’on a : \(N=n\times 10^{k}\), avec \(k\) un entier relatif et
\(1\leq n <10\) (ce qui équivaut à dire \(n\)
appartenant à l’intervalle \([1; 10[\)).
Exemple
7 :
\(3\times 5^{2}\) n’est pas un nombre écrit sous
forme scientifique. En effet, on doit avoir des puissances de 10 ce qui
n’est
pas le cas ici (on a des puissances de 5).
\(0.7\times 10^{3}\) n’est pas un nombre écrit
sous forme scientifique. En effet, \(0.7\) n’appartient pas à l’intervalle
\([1;10[\).
\(5.3\times 10^{-3}\) est un nombre écrit sous
forme scientifique. \(5.3\) appartient à l’intervalle \([1; 10[\) et
on a des
puissances de 10.
B)
Propriétés
Soit \(m\) et \(n\) deux entiers relatifs et \(a\) et \(c\) deux nombres
non nuls.
1) Multiplication de
puissances
2) Quotient
de puissances
3) Puissance
de puissances
4) Produit
de puissances de même
exposant