ASIE JUIN 2016
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Exercice 1 (4 points)
| A | B | C | ||
| 1. | Dans une urne, il y a 10 boules rouges et 20 boules noires. La probabilité de tirer une boule rouge est : | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) | \(\displaystyle \frac{2}{3}\) |
| 2. | \((3x+2)^{2}=\ldots\) | \(9x^{2}+4\) | \(3x^{2}+6x+4\) | \(4+3x(3x+4)\) |
| 3. | Une solution de l’équation \(x^{2}-2x-8=0\) est : | 0 | 3 | 4 |
| 4. | Si on double toutes les dimensions d’un aquarium, alors son volume est multiplié par : | 2 | 6 | 8 |
1) Réponse B
Nombre total de boules : 10 + 20 = 30
L'urne contient 30 boules, dont 10 boules rouges. La probabilité de tirer une boule rouge est égale à :
\[\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\]
2) Réponse C
\[\begin{align*} (3x+2)^{2}&=(3x)^{2}+2\times3x\times2+2^{2}\\ &=9x^{2}+12x+4\\ &=x(9x+12)+4\\ &=3x(3x+4)+4\\ &=4+3x(3x+4)
\end{align*}\]
3) Réponse C
Remplaçons \(x\) par 0 :
\(0^{2}-2\times 0-8=-8\neq 0\)
Donc cela ne peut pas être 0.
Remplaçons \(x\) par 3 :
\(3^{2}-2\times 3-8=-5\neq 0\)
Donc cela ne peut pas être 3.
Remplaçons \(x\) par 4 :
\(4^{2}-2\times 4-8=0\)
Donc la bonne réponse est 4.
4) Réponse C
Lorsqu'on multiplie les dimensions par 2, on multiplie le volume par 23 = 8
Exercice 2 (6 points)
1) Le triangle ACD est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore :
\[\begin{align*} &AC^{2}+AD^{2}=CD^{2}\\ &CD^{2}=76^{2}+154^{2}\\ &CD^{2}=5776+23716\\ &CD^{2}=29492\\ &CD=\sqrt{29492}\\ &CD\approx 172\text{ m (valeur arrondie au mètre)} \end{align*}\] CD mesure environ 172 mètres (valeur arrondie au mètre près).
2) Le triangle ACD est rectangle en A ; on peut donc utiliser les formules trigonométriques pour déterminer la mesure de l'angle \(\widehat{CDA}\).
\[ \begin{align*} \cos{\widehat{CDA}}&=\frac{\text{côté adjacent à l'angle }\widehat{CDA}}{\text{hypoténuse}}\\ &=\frac{AD}{CD}\\ &=\frac{154}{172} \end{align*} \] D'après la calculatrice :
\[\cos^{-1}\left(\frac{154}{172}\right)\approx 26^{\circ}
\] L'angle \(\widehat{CDA}\) mesure approximativement 26° (valeur arrondie au degré près).
3) Dans le triangle ACD, nous avons :
\[ \begin{align*} \frac{AE}{AC}&=\frac{AC-EC}{AC}\\ &=\frac{76-5}{76}\\ &=\frac{71}{76} \\ & \\ \frac{AF}{AD}&=\frac{AD-FD}{AD}\\ &=\frac{154-12}{154}\\ &=\frac{142}{154}\\ &=\frac{71}{77} \end{align*}\] Nous pouvons remarquer que :
\[\frac{AE}{AC}\neq\frac{AF}{AD} \] Donc d'après la contraposée du théorème de Thalès, les haubans [CD] et [EF] ne sont pas parallèles.
Exercice 3 (6 points)
| Nombre de bonbons | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 |
| Effectifs | 4 | 36 | 53 | 79 | 145 | 82 | 56 | 38 | 7 |
| Effectifs cumulés croissants | 4 | 40 | 93 | 172 | 317 | 399 | 455 | 493 | 500 |
1er critère :
Calcul du nombre moyen de bonbons :
\[ \begin{align*} &\frac{56\times4+57\times36+...+64\times7}{500}\\ &=\frac{30027}{500}\\ &=60.054 \end{align*} \] On remarque que :
\[59.9<60.054<60.1\] Donc le premier critère de qualité est respecté.
2ème critère :
On rappelle que l'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.
Etendue = 64 - 56 = 8
Comme 8 < 10, le deuxième critère est respecté.
3ème critère :
Les valeurs de la série sont déjà classées par ordre croissant.
Etant donné qu'il y a 500 valeurs, le premier quartile est la 125ème valeur de la série et le troisième quartile est la 375ème valeur de la série. On a rajouté une ligne au tableau permettant d'indiquer les effectifs cumulés croissants. On en déduit que la 125ème valeur est 59 et que la 375ème valeur est 61. Par conséquent, l'intervalle interquartile vaut :
61 - 59 = 2 < 3 donc le troisième critère est respecté.
La nouvelle machine respecte tous les critères de qualité.
Exercice 4 (5 points)
Pour les hommes
| Indice de forme | Moins de 30 ans | De 30 à 39 ans | De 40 à 49 ans | Plus de 50 ans |
| Très faible | moins de 1600 m | moins de 1500 m | moins de 1350 m | moins de 1250 m |
| Faible | 1601 à 2000 m | 1501 à 1850 m | 1351 à 1700 m | 1251 à 1600 m |
| Moyen | 2001 à 2400 m | 1851 à 2250 m | 1701 à 2100 m | 1601 à 2000 m |
| Bon | 2401 à 2800 m | 2251 à 2650 m | 2101 à 2500 m | 2001 à 2400 m |
| Très bon | Plus de 2800 m | Plus de 2650 m | Plus de 2500 m | Plus de 2400 m |
Pour les femmes
| Indice de forme | Moins de 30 ans | De 30 à 39 ans | De 40 à 49 ans | Plus de 50 ans |
| Très faible | moins de 1500 m | moins de 1350 m | moins de 1200 m | moins de 1100 m |
| Faible | 1501 à 1850 m | 1351 à 1700 m | 1201 à 1500 m | 1101 à 1350 m |
| Moyen | 1851 à 2150 m | 1701 à 2000 m | 1501 à 1850 m | 1351 à 1700 m |
| Bon | 2151 à 2650 m | 2001 à 2500 m | 1851 à 2350 m | 1701 à 2200 m |
| Très bon | Plus de 2650 m | Plus de 2500 m | Plus de 2350 m | Plus de 2200 m |
Document 2 : Plan de piste Cette piste est composée de deux parties rectilignes et de deux demi-cercles. |
Document 3 : Données du test • Adèle a 31 ans.
• Mathéo a 27 ans. • Adèle a réalisé 6 tours de piste et 150 mètres. • Mathéo a réalisé le test avec une vitesse moyenne de 13,5 km/h. |
1) La longueur de la piste est composée des deux longueurs d'un rectangle (109 m chacune) ainsi que de deux demi-cercles de diamètre 58 m, c'est-à-dire un cercle de diamètre 58 m, ou encore un cercle de rayon 29 m.
Nous obtenons le périmètre du stade (la longueur de la piste) :
\[ \begin{align*} P&=2L+2\pi r\\ &=2\times 109+2\times\pi\times 29\\ &\approx 400.21\text{ mètres} \end{align*} \] La piste mesure approximativement 400 mètres (valeur arrondie au mètre près).
2) Distance parcourue par Adèle :
\[400\times6+150=2400+150=2550\text{ m}\] Ayant 31 ans, Adèle appartient à la catégorie des 30-39 ans, son indice de forme est donc très bon. Elle pourra participer à la course.
Concernant Mathéo, nous avons le temps (12 minutes) et la vitesse (13.5 km/h). Nous allons pouvoir déterminer la distance. Transformons 12 minutes en heure :
\[12\text{ min}=\frac{12}{60}\text{ h}=0.2\text{ h}\] Nous avons la relation :
\[\begin{align*} &v=\frac{d}{t}\\ &d=v\times t\\ &d=13.5\times 0.2\\ &d=2.7\text{ km}\\ &d=2700\text{ m} \end{align*}\] Mathéo ayant 27 ans, il appartient à la catégorie moins de 30 ans, donc son indice de forme est bon. Il pourra participer à la course.
Par conséquent, Adèle et Mathéo participeront à la course.
Exercice 5 (6 points)
1) L'image de 3 par la fonction \(f\) est 7. En effet :
\[ \begin{align*} f(3)&=2\times 3+1\\ &=6+1\\ &=7 \end{align*} \]
2) Le nombre qui doit apparaître dans la cellule C3 est 9. En effet :
\[ \begin{align*} g(-2)&=(-2)^{2}+4\times(-2)-5\\ &=4-8-5\\ &=-9 \end{align*} \]
3) Dans la cellule B2, Léa a saisi la formule suivante :
=2*B1+1
4) L'inéquation correspond en fait à \(f(x)<g(x)\). D'après le tableur, 2 et 3 sont solutions de cette inéquation par exemple.
5) Un antécédent de 1 par la fonction \(f\) (cellule E2) est 0 (cellule E1).
Exercice 6 (3 points)
1) L'affirmation 1 est fausse. On peut prendre un contre-exemple pour le démontrer : 3 et 9 sont impairs mais ils ne sont pas premiers entre eux : 9 est un multiple de 3.2) L'affirmation 2 est fausse. On peut prendre un contre-exemple pour le démontrer :
\[\begin{align*} &a=1\qquad b=1\\ &\sqrt{1}+\sqrt{1}=1+1=2\\ &\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\neq 2 \end{align*}\]
3) L'affirmation 3 est vraie.
Soit \(x\) le prix de départ. On lui applique deux augmentations successives ; le nouveau prix est alors égal à :
\[\begin{align*} &x\left(1+\frac{20}{100}\right)\left(1+\frac{30}{100}\right)\\ &=x\times1.2\times1.3\\ &=1.56x\\ &=\left(1+\frac{56}{100}\right)x \end{align*}\] Si on augmente le prix d’un article de 20% puis de 30% alors, au total, le prix a augmenté de 56%.
Exercice 7 (6 points)
| Document 1 : Recette du cocktail Ingrédients pour 6 personnes : • 60 cl de jus de mangue • 30 cl de jus de poire • 12 cl de jus de citron vert • 12 cl de sirop de cassis Préparation : Verser les différents ingrédients dans un récipient et remuer. Garder au frais pendant au moins 4 h. |
Document 2 : Récipient de Romane On considère qu’il a la forme d’une demi-sphère de diamètre 26 cm. |
Volume du cocktail pour 6 personnes :
\[60+30+12+12=114\text{ cL}\] Pour une personne, le volume de cocktail est égal à :
\[\frac{114}{6}=19\text{ cL}\] Pour 20 personnes, elle a besoin d'un volume de :
\[19\times 20=380\text{ cL}=3.8\text{ L}\] Romane a besoin d'un volume de 3.8 litres.
Le saladier a un diamètre de 26 cm, soit un rayon de 13 cm. N'oublions pas qu'il s'agit d'une demi-sphère (et non d'une sphère) !
\[ \begin{align*} V_{\text{saladier}}&=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times r^{3}\\ & =\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times 13^{3}\\ & \approx 4601 \text{ cm}^{3}\\ & \approx 4.601 \text{ dm}^{3}\\ & \approx 4.601 \text{ L}
\end{align*} \] Le volume du saladier est approximativement de 4.6 litres alors que le volume du cocktail est de 3.8 litres. Par conséquent, le récipient choisi par Romane est assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes.