RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Sujet des exercices ***

Exercice 1

Démontrer par récurrence que pour tout réel \(x\) et \(y\) et tout entier naturel \(n\), nous avons : \[ (x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{matrix} n\\ k \end{matrix} \right)x^{n-k}y^{k}. \]

Exercice 2

Soit \((u_{n})\) la suite définie pour tout \(n\in \mathbb{N}^{*}\) par \[ u_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}k\times k!. \] 1) Calculer \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
2) Conjecturer l'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
3) Démontrer par récurrence la conjecture de la question précédente.

Exercice 3

Démontrer que \(\forall n\in \mathbb{N}\), nous avons : \[ (2n)! \geq 2^{n}(n!)^{2}. \]

Exercice 4

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{3n+2}+2^{n+4}\) est divisible par 5.


Exercice 5

On considère deux réels \(a\) et \(b\), avec \(a\notin\{0,1\}\). Soit \(\left(u_{n}\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par : \[ u_{n}=au_{n}+b, \] et par \(u_{0}=x\), avec \(x\in \mathbb{R}\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) : \[ u_{n}=a^{n}\left(x-\frac{b}{1-a}\right)+\frac{b}{1-a}. \]

Exercice 6

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq 2\) : \[ \frac{1}{n!}\leq \frac{1}{2^{n-1}}. \]

Exercice 7

Considérons la suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{0}=3\) et par \[ u_{n+1}=u_{n}^{2}. \] Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[ u_{n}=3^{2^{n}}. \]

Exercice 8

Soit la fonction \(f\) définie pour tout \(x\) réel par \[ f(x)=xe^{x} \] Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[ f^{(n)}(x)=(x+n)e^{x}, \] où \(f^{(n)}\) désigne la dérivée nème de \(f\).

Exercice 9

Soit la fonction \(f\) définie pour tout \(x > -1\) par \[ f(x)=\ln(1+x) \] Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \[ f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}}, \] où \(f^{(n)}\) désigne la dérivée nème de \(f\).

Raisonnement par récurrence : sujet des exercices d'approfondissement pour la terminale
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