RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Sujet des exercices ***
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Exercice 1
Démontrer par récurrence que pour tout réel \(x\) et \(y\) et tout entier naturel \(n\), nous avons :
\[
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}
\right)x^{n-k}y^{k}.
\]
Exercice 2
Soit \((u_{n})\) la suite définie pour tout \(n\in \mathbb{N}^{*}\) par
\[
u_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}k\times k!.
\]
1) Calculer \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
2) Conjecturer l'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
3) Démontrer par récurrence la conjecture de la question précédente.
Exercice 3
Démontrer que \(\forall n\in \mathbb{N}\), nous avons :
\[
(2n)! \geq 2^{n}(n!)^{2}.
\]
Exercice 4
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{3n+2}+2^{n+4}\) est divisible par 5.
Exercice 5
On considère deux réels \(a\) et \(b\), avec \(a\notin\{0,1\}\). Soit \(\left(u_{n}\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par :
\[
u_{n}=au_{n}+b,
\]
et par \(u_{0}=x\), avec \(x\in \mathbb{R}\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) :
\[
u_{n}=a^{n}\left(x-\frac{b}{1-a}\right)+\frac{b}{1-a}.
\]
Exercice 6
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq 2\) :
\[
\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{2^{n-1}}.
\]
Exercice 7
Considérons la suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{0}=3\) et par
\[
u_{n+1}=u_{n}^{2}.
\]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :
\[
u_{n}=3^{2^{n}}.
\]
Exercice 8
Soit la fonction \(f\) définie pour tout \(x\) réel par
\[
f(x)=xe^{x}
\]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :
\[
f^{(n)}(x)=(x+n)e^{x},
\]
où \(f^{(n)}\) désigne la dérivée n
ème de \(f\).
Exercice 9
Soit la fonction \(f\) définie pour tout \(x > -1\) par
\[
f(x)=\ln(1+x)
\]
Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\[
f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}},
\]
où \(f^{(n)}\) désigne la dérivée n
ème de \(f\).
Raisonnement par récurrence : sujet des exercices d'approfondissement pour la terminale
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