PROPORTIONNALITE
Cours

I) Tableau de proportionnalité

Exemple 1 : Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

Poids (en kg)	2	3	10
Prix (en €)	3	4.50	15

Pour obtenir les prix, on remarque que l'on multiplie tous les poids par 1.5. Par conséquent, il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité, puisqu'on multiplie toutes les valeurs de la première ligne par 1.5 pour obtenir celles de la seconde ligne. 1.5 est le coefficient de proportionnalité.

Exemple 2 : Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

Nombre de places de cinéma	2	5	10
Prix (en €)	12	20	35

Pour obtenir les prix, on remarque que l'on multiplie le nombre de places par 6, puis par 4, puis par 3.5. Par conséquent, ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

Exemple 3 : Compléter ce tableau, sachant qu'il s'agit d'un tableau de proportionnalité :

Nombre de litres d'essence	2	4	6
Prix (en €)	2.60	...	...

 On détermine tout d'abord le coefficient de proportionnalité :
\(\displaystyle \frac{2.60}{2}=1.30 \)
Le coefficient de proportionnalité est égal à 1.3. On multiplie par conséquent tous les éléments de la première ligne du tableau par 1.3 pour obtenir ceux de la seconde ligne :

Nombre de litres d'essence	2	4	6
Prix (en €)	2.60	4 × 1.3 = 5.20	6 × 1.3 = 7.80

Exemple 3 bis : En utilisant l'exemple précédent, le prix de 6 litres d'essence est égal au prix payé pour 2 litres plus le prix payé pour 4 litres :
2.60 + 5.20 = 7.80, et on retrouve le résultat que l'on a calculé avec le coefficient de proportionnalité.

II) Pourcentage

Exemple 4 : Un concessionnaire a vendu 150 voitures le mois dernier. Parmi elles, 30% sont des citadines. Combien de citadines ce garage a-t-il vendu ?
\(\displaystyle 150\times \frac{30}{100}=45 \)
Ce concessionnaire a vendu 45 citadines.

B) Calculer un pourcentage

Exemple 5 : Un libraire a vendu 1200 livres cette semaine, dont 540 romans. Quel pourcentage de la vente des livres représentent les romans ?
La question revient à savoir pour 100 livres, combien le libraire a vendu de romans. On peut faire un tableau de proportionnalité :

Nombre de romans	540	\(x\)
Nombre de livres	1200	100

Sur 100 livres vendus, 45 sont des romans. Par conséquent, les romans représentent 45% des ventes de ce libraire.

C) Calculer une valeur d'arrivée

Exemple 6 : Une veste coûte 90€. Elle est soldée à 40%. Quel est son prix après la remise ?
Calcul du montant de la réduction :
\( \displaystyle 90\times \frac{40}{100}=36\)
Le montant de la réduction est de 36€.
La veste coûte, après remise :
90 - 36 = 54€
le prix de la veste après remise est de 54€.

D) Calculer une valeur de départ

Exemple 7 : Après avoir subi une augmentation de 10%, le prix du litre d'essence est de 1€40. Quel était le tarif avant l'augmentation ?
Soit \(x\) le prix d'un litre d'essence avant l'augmentation.
Le montant de l'augmentation est égal à :
\(\displaystyle x\times \frac{10}{100}=0.1x\)
Le nouveau prix est donc égal à :
\(x+0.1x=1.1x\)
Or le nouveau prix est de 1€40 donc nous devons résoudre l'équation suivante :
\(1.1x=1.40\)
Ce qui donne :
\(\displaystyle x=\frac{1.40}{1.1}\approx 1.273\)
Le prix d'un litre d'essence avant augmentation était approximativement de 1€273.

III) Vitesse, distance, durée

Pour les unités, si \(d\) est exprimé en km et \(t\) en heures, alors la vitesse \(v\) s'exprimera en km/h.
Si \(d\) est exprimé en km et \(t\) en secondes, alors la vitesse \(v\) s'exprimera en m/s.

Remarque

La vitesse, la distance et le temps s'inscrivent dans une relation de proportionnalité. Connaissant deux de ces grandeurs, il est possible de déterminer la troisième.