PGCD
Correction des exercices **
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Exercice 1
Quelle que soit la méthode employée
(méthode des différences ou
algorithme d'Euclide), on obtient les mêmes résultats.
1) Calcul du PGCD de 88 et 132 avec la méthode des différences :
132 - 88 = 44
88 - 44 = 44
44 - 44 = 0
Le PGCD de 88 et 132 est 44.
2) Calcul du PGCD de 65 et 170 à l'aide de l'algorithme
d'Euclide :
170 = 65 × 2 + 40
65 = 40 × 1 + 25
40 = 25 × 1 + 15
25 = 15 × 1 +10
15 = 10 × 1 +
5
10 = 5 × 2 + 0
Le PGCD de 65 et 170 est le dernier reste non nul, soit 5.
3) Calcul du PGCD de 66 et 180 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
180 = 66 × 2 + 48
66 = 48 × 1 + 18
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 +
6
12 = 6 × 2 + 0
Le PGCD de 66 et 180 est le dernier reste non nul, soit 6.
Exercice 2
Pour déterminer si deux nombres sont premiers entre
eux, on calcule leur PGCD. Si celui-ci est égal à 1, alors les deux
nombres sont premiers entre eux.
1) Calcul du PGCD de 73 et 85 avec l'algorithme d'Euclide :
85 = 73 × 1 + 12
73 = 12 × 6 + 1
12 = 12 × 1 + 0
PGCD(73 ; 85) = 1, donc 73 et 85 sont premiers entre eux.
2) Calcul du PGCD de 68 et 94 avec l'algorithme d'Euclide :
94 = 68 × 1 + 26
68 = 26 × 2 + 16
26 = 16 × 1 + 10
16 = 10 × 1 + 6
10 = 6 × 1 + 4
6 = 4 × 1 + 2
4 = 2 × 2 + 0
Le PGCD de 68 et 94 est le dernier reste non nul, soit 2. Par
conséquent, 68 et 94 ne sont pas premiers entre eux.
3) Calcul du PGCD de 121 et 120
121 = 120 × 1 + 1
120 = 1 × 120 + 0
Le PGCD de 121 et 120 est le dernier reste non nul, soit 1. Par
conséquent, 121 et 120 sont premiers entre eux.
4) Calcul du PGCD de 95 et 35
95 = 35 × 2 + 25
35 = 25 × 1 + 10
25 = 10 × 2 + 5
10 = 5 × 2 + 0
Le PGCD de 95 et 35 est le dernier reste non nul, soit 5. Par
conséquent, 95 et 35 ne sont pas premiers entre eux.
Autre
méthode : on pouvait directement voir d'après les critères de
divisibilité que 95 et 35 étaient tous les deux divisibles par 5, et
par conséquent qu'ils n'étaient pas premiers entre eux.
Exercice 3
1) Calcul du PGCD de 27 et 75 :
75 = 27 × 2 +21
27 = 21 × 1 + 6
21 = 6 × 3 + 3
6 = 3 × 2 + 0
Le
PGCD de 27 et 75 est le dernier reste non nul, soit 3. Pour rendre la
fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par
le PGCD de ces deux nombres :
\(\displaystyle \frac{27}{75}=\frac{27 {\color{red} \div \color{red}3}}{75 {\color{red} \div \color{red}3}}=\frac{9}{25}\)
2) Calcul du PGCD de 122 et 64 :
122 = 64 × 1 + 58
64 = 58 × 1 + 6
58 = 6 × 9 + 4
6 = 4 × 1 + 2
4 = 2 × 2 + 0
Le
PGCD de 122 et 64 est le dernier reste non nul, soit 2. Pour rendre la
fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par
le PGCD de ces deux nombres :
\(\displaystyle \frac{122}{64}=\frac{122 \color{red}\div \color{red}2}{64 \color{red}\div \color{red}2}=\frac{61}{32}\)
3) Calcul du PGCD de 36 et 48 :
48 = 36 × 1 +12
36 = 12 × 3 + 0
Le
PGCD de 36 et 48 est le dernier reste non nul, soit 12. Pour rendre la
fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par
le PGCD de ces deux nombres :
\( \displaystyle \frac{36}{48}=\frac{36 \color{red}\div \color{red}1\color{red}2}{48 \color{red}\div \color{red}1\color{red}2}=\frac{3}{4}\)
4) Calcul du PGCD de 93 et 27 :
93 = 27 × 3 + 12
27 = 12 × 2 + 3
12 = 3 × 4 + 0
Le
PGCD de 93 et 27 est le dernier reste non nul, soit 3. Pour rendre la
fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par
le PGCD de ces deux nombres :
\( \displaystyle \frac{93}{27}=\frac{93\color{red}\div \color{red}3}{27\color{red}\div \color{red}3}=\frac{31}{9}\)
Exercice 4
Pour qu'il n'y ait pas de reste de croissants, il faut que le nombre de
paquets soit un diviseur de 355.
Pour qu'il n'y ait pas de reste de chocolatines, il faut que le nombre
de paquets soit un diviseur de 284.
Etant
donné que l'on fait des sachets contenant des croissants et des
chocolatines, le nombre de paquets doit être à la fois un
diviseur
de 355 et 284.
Et comme on veut le nombre maximal de sachets de
viennoiseries, le nombre de paquets est le plus grand diviseur commun
(PGCD) de 355 et 284.
Calcul du PGCD de 355 et 284 :
355 = 284 × 1 + 71
284 = 71 × 4 + 0
Le PGCD de 355 et 284 est le dernier reste non nul, soit 71. Le
pâtissier réalisera 71 paquets de viennoiseries.
Nombre de croissants dans un paquet :
\(\displaystyle\frac{355}{71}=5\)
Nombre de chocolatines dans un paquet :
\(\displaystyle\frac{284}{71}=4\)
Chaque paquet contiendra 5 croissants et 4 chocolatines.