INEQUATIONS
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I) Définitions
Définition
Résoudre une inéquation
consiste à trouver toutes les valeurs pour
lesquelles l’inégalité est vraie.
Comme pour les équations, les inéquations peuvent comporter une ou plusieurs inconnues.
Elles sont composées souvent de deux membres : un membre de gauche et un membre de droite.
Comme pour les équations, les inéquations peuvent comporter une ou plusieurs inconnues.
Elles sont composées souvent de deux membres : un membre de gauche et un membre de droite.
Exemple 1 :
\(2x+7<3\)
\(x\) est l’inconnue. Le membre de gauche est \(2x+7\). Le membre de droite est 3. Résoudre cette inéquation consiste à répondre à la question suivante :
« Quelles sont toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles on a \(2x+7<3\) ? »
Par exemple, 4 n’est pas solution car 2 × 4 + 7 = 15 > 3.
Par contre, -5 est solution. En effet, 2 × (-5) + 7 = -3 < 3.
Il existe très souvent une infinité de solutions (cela marche ici pour tous les nombres strictement inférieurs à -2). On utilise des inégalités pour exprimer l’ensemble des solutions.
II) Propriétés
A) Addition et soustraction
Propriété
Lorsqu’on ajoute (ou
soustrait) un même nombre à chaque membre d’une inégalité, on obtient
une
inégalité de même sens et on ne modifie pas les solutions.
Exemple 2 :
\[ \begin{align*} &3x+7<2x-5\\ &3x+7{\color{red} + \color{red} 5}<2x-5{\color{red} + \color{red}5}\\ &3x+12<2x \end{align*} \] Les solutions de l’inéquation \(3x+12<2x\) sont identiques à celles de l’inéquation \(3x+7<2x-5\). Le fait d’ajouter 5 n’a pas changé le sens de l’inégalité.
Exemple 3 :
\[ \begin{align*} &3x+7<2x-5\\ &3x+7{\color{red}- \color{red} 7}<2x-5{\color{red} - \color{red}7}\\ &3x<2x-12 \end{align*} \] Les solutions de l’inéquation \(3x<2x-12\) sont identiques à celles de l’inéquation \(3x+7<2x-5\). Le fait de retrancher 7 n’a pas changé le sens de l’inégalité.
B) Multiplication et division
Propriété
Lorsqu’on multiplie (ou
divise) les deux membres par un nombre
strictement positif, on obtient une inégalité de même sens et
on ne modifie
pas les solutions.
Exemple 4 :
\[ \begin{align*} &\frac{1}{2}x+1<5\\ &\left(\frac{1}{2}x+1\right){\color{red}\times \color{red}2}<5{\color{red}\times \color{red}2}\\ &x+2<10 \end{align*} \] Les solutions de l’inéquation \(x+2<10\) sont identiques à celles de l'inéquation \(0.5x+1<5\). Le fait de multiplier par 2 (nombre strictement positif) n’a pas changé le sens de l’inégalité.
Exemple 5 :
\[ \begin{align*} &3x+6<9\\ &\frac{3x+6}{\color{red}3}<\frac{9}{\color{red} 3}\\ &x+2<3 \end{align*} \] Les solutions de l’inéquation \(x+2<3\) sont identiques à celles de l'inéquation \(3x+6<9\). Le fait de diviser par 3 (nombre strictement positif) n’a pas changé le sens de l’inégalité.
Propriété
Lorsqu’on multiplie (ou
divise) les deux membres par un nombre
strictement négatif, on obtient une inégalité de
sens contraire et on ne modifie pas les solutions.
Par exemple, on a bien 2 < 3 mais lorsqu’on multiplie les deux membres par -1, on a alors -2 > -3. (Ceux qui en doutent peuvent placer -2 et -3 sur une droite graduée.)
Exemple 6 :
\[ \begin{align*} &2-\frac{1}{3}x<-x+4\\ &\left(2-\frac{1}{3}x\right){\color{red}\times \color{red}(\color{red}-\color{red}3\color{red})}{\color{green}>}(-x+4){\color{red}\times \color{red}(\color{red}-\color{red}3\color{red})}\\ &-6+x<3x-12 \end{align*} \] Les solutions de l’inéquation \(-6+x<3x-12\) sont identiques à celles de l’inéquation \(\displaystyle 2-\frac{1}{3}x<-x+4\). Le fait de multiplier par -3 (nombre strictement négatif) a changé le sens de l’inégalité.
Exemple 7 :
\[ \begin{align*} &-x-7<2-x\\ &\frac{-x-7}{\color{red}-\color{red}1}{\color{green}>}\frac{2-x}{\color{red}-\color{red}1}\\ &x+7>-2+x \end{align*} \] Les solutions de l’inéquation \(x+7>-2+x\) sont identiques à celles de l’inéquation \(-x-7<2-x\). Le fait de diviser par -1 (nombre strictement négatif) a changé le sens de l’inégalité.
III) Représentation graphique des solutions
On représente souvent les solutions d’une inéquation sur une droite graduée. Dans les représentations graphiques qui suivront, la « zone verte » représentera l’ensemble des solutions.Remarque
Lorsqu’on représente les solutions sur une droite graduée :
- si le crochet est tourné
vers les solutions (donc vers la zone verte),
alors le nombre correspondant fait partie des solutions.
- si le crochet est tourné vers l’extérieur, alors ce nombre ne fait pas partie des solutions.
- si le crochet est tourné vers l’extérieur, alors ce nombre ne fait pas partie des solutions.
Exemple 8 : Résoudre les inéquations suivantes puis représenter graphiquement leurs solutions sur une droite graduée :
1) \(2x+4>3x-5\)
2) \(x+7\leq 13\)
3) \(3x-4\geq 12\)
4) \(2x+3>15\)
1) Résolution de l'inéquation \(2x+4>3x-5\) puis représentation graphique des solutions :
\[ \begin{align*} &2x+4>3x-5\\ &2x-3x+4>-5\\ &2x-3x>-5-4\\ &-x>-9\\ &\frac{-x}{-1}\color{red}<\frac{-9}{-1}\\ &x<9 \end{align*} \]
Les solutions de cette inéquation sont les nombres strictement inférieurs à 9. 9 ne fait pas partie des solutions donc le crochet sera tourné vers l’extérieur de la zone verte.
2) Résolution de l'inéquation \(x+7\leq 13\) puis représentation graphique des solutions :
\[ \begin{align*} &x+7\leq 13\\ &x\leq 13-7\\ &x \leq 6 \end{align*} \]
Les solutions de cette inéquation sont les nombres inférieurs ou égaux à 6. 6 fait partie des solutions donc le crochet sera tourné vers la zone verte.
3) Résolution de l'inéquation \(3x-4\geq 12\) puis représentation graphique des solutions :
\[ \begin{align*} &3x-4\geq 12\\ &3x\geq 12+4\\ &3x \geq 16\\ &x\geq \frac{16}{3} \end{align*} \]
Les solutions de cette inéquation sont les nombres supérieurs ou égaux à \(\displaystyle \frac{16}{3}\). \(\displaystyle \frac{16}{3}\) fait partie des solutions donc le crochet sera tourné vers la zone verte.
4) Résolution de l'inéquation \(2x+3>15\) puis représentation graphique des solutions :
\[ \begin{align*} &2x+3>15\\ &2x> 15-3\\ &2x>12\\ &x> \frac{12}{2}\\ &x>6 \end{align*} \]
