ANGLES, POLYGONES REGULIERS
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I) Angles inscrits - Angles au centre
A) Angles inscrits
Définition
Considérons un
cercle \(C\).
Un angle inscrit dans \(C\) est un angle dont le sommet appartient à \(C\) et qui intercepte un arc de ce cercle.
Un angle inscrit dans \(C\) est un angle dont le sommet appartient à \(C\) et qui intercepte un arc de ce cercle.
Exemple 1
Soit trois points A, B et C appartenant au cercle \(C\).
(1) : L'angle inscrit \(\widehat{ABC}\) qui intercepte l'arc
de cercle \(\overset{\frown}{AC}\).
(2) : L'angle inscrit \(\widehat{BAC}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{BC}\).
(3) : L'angle inscrit \(\widehat{BCA}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\).
(2) : L'angle inscrit \(\widehat{BAC}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{BC}\).
(3) : L'angle inscrit \(\widehat{BCA}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\).
B) Angles au centre
Définition
Dans le cercle \(C\),
un angle au centre
est un angle dont le sommet est le centre du cercle \(C\).
Exemple 2
En reprenant le même cercle que précédemment, voici quelques exemples d'angles au centre :
(1) : L'angle au centre \(\widehat{AOB}\) qui intercepte l'arc
de cercle \(\overset{\frown}{AB}\).
(2) : L'angle au centre \(\widehat{BOC}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{BC}\).
(3) : L'angle au centre \(\widehat{AOC}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{AC}\).
(2) : L'angle au centre \(\widehat{BOC}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{BC}\).
(3) : L'angle au centre \(\widehat{AOC}\) qui intercepte l'arc de cercle \(\overset{\frown}{AC}\).
C) Propriétés
Propriété
Dans un cercle, si deux angles inscrits
interceptent le même arc, alors ils sont de même mesure.
Exemple 3 :
Soit le cercle de centre O. A, B, C et D sont quatre points de ce cercle.
Les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ADC}\) interceptent le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AC}\) (tracé en rouge), donc ils sont de même mesure : \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\).
On peut aussi remarquer que les angles \(\widehat{BAD}\) et \(\widehat{BCD}\) interceptent le même arc de cercle \(\overset{\frown}{BD}\) (tracé en rouge), donc ils sont de même mesure : \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\).
Propriété
Dans un cercle, si un angle au centre
intercepte le même arc de cercle qu'un angle inscrit, alors sa mesure
est le double de celle de l'angle inscrit.
Exemple 4 :
Soit le cercle de centre O. A, B, C et D sont quatre points de ce cercle.
L'angle au centre \(\widehat{AOC}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AC}\) que l'angle inscrit \(\widehat{ADC}\) donc nous avons \(\widehat{AOC}=2\times \widehat{ADC}\).
Propriété
Soit [AC] un diamètre du cercle et D un
point de ce cercle. Alors le triangle ADC est rectangle en D.
L'angle inscrit \(\widehat{CDA}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AC}\) que l'angle au centre \(\widehat{COA}\) donc nous avons \(\widehat{COA}=2\times \widehat{CDA}\). Comme les points A, O et C sont alignés, nous avons \(\widehat{AOC}=180^{\circ}\). On en déduit que l'angle \(\widehat{ADC}\) mesure 90°, c'est-à-dire que le triangle ADC est rectangle en D.
II) Polygones réguliers
A) Définitions
Définition
Un polygone
est une figure fermée délimitée par des segments consécutifs, appelés
côtés du polygone.
On dit qu'un polygone est croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont sécants. On dit qu'un polygone est simple si l'intersection de deux côtés consécutifs se réduit à un sommet.
On dit qu'un polygone est croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont sécants. On dit qu'un polygone est simple si l'intersection de deux côtés consécutifs se réduit à un sommet.
Exemple 5 :
Définition
On dit qu'un polygone est régulier lorsque
tous ses côtés sont de même longueur et tous ses angles formés par deux
côtés consécutifs sont de même mesure.
Exemple 6 :
Un pentagone régulier a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles formés par deux côtés consécutifs de même mesure.
Voici quelques polygones réguliers bien connus :
B) Propriétés
Propriété
Si un polygone est régulier, alors il
est inscriptible
dans un cercle.
Cela signifie que tous les sommets d'un polygone régulier appartiennent à un même cercle.
La réciproque de cette propriété est fausse ! Ce n'est pas parce qu'une figure est inscriptible dans un cercle qu'il s'agit d'un polygone régulier. Un triangle est toujours inscriptible dans un cercle mais il n'est pas nécessairement régulier (équilatéral).
Exemple 8 :
Un octogone régulier est inscriptible dans un cercle :
Propriété
Si A et B sont deux sommets consécutifs
d'un polygone régulier de centre O possédant \(n\)
côtés, alors l'angle au centre \(\widehat{AOB}\)
mesure :
\[\widehat{AOB}=\frac{360}{n}\]
\[\widehat{AOB}=\frac{360}{n}\]
Exemple 9 :
En reprenant l'octogone régulier de l'exemple 8, sachant qu'un octogone a 8 côtés, la mesure de l'angle \(\widehat{AOB}\) est égale à :
\[\widehat{AOB}=\frac{360}{n}=\frac{360}{8}=45^{\circ}\]
Remarque :
Pour construire facilement un polygone régulier, il est préférable de connaître la mesure du rayon du cercle circonscrit ainsi que celle de l'angle au centre.